2. Развивать логическое мышление обучающихся.
Ход занятия.
I. Организация группы.
II. Объяснение.
Определение 1. Возвратное уравнение третьей степени имеет вид
ax3 + bx2 + bx + a = 0.
Пример 1. Решите уравнение 3x3 + 7x2 + 7x +3 = 0.
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения
3x3 + 7x2 + 7x +3 = 3(x3 + 1) + 7x(x + 1) = 3(x + 1)(x2 – x +1) + 7x(x + 1) =
= (x + 1)(3x2 + 4x + 1).
После преобразования уравнение перепишется в виде
(x + 1)(3x2 + 4x + 1) = 0,
x1 = - 1, x2 = - 
, x3 = - 1.
Ответ. – 1; - .
Определение 2. Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (где все коэффициенты отличны от нуля) называют возвратным (первые два коэффициента a и b как бы возвращаются в последних двух членах уравнения).
Возвратные уравнения решаются методом введения новой переменной. Если разделить обе части уравнения почленно на x2 (что вполне законно, поскольку значение x = 0 не является корнем уравнения), получим:
ax2 + bx + c + 
= 0,
a(x2 + 
+ b(x + 
) + c = 0. (1)
Пусть x + = y, тогда (x + )2 = y2, откуда находим, что x2 + 
= y2 – 2.
С помощью новой переменной y уравнение (1) можно переписать в виде
a(y2 – 2) + by + c = 0.
Предположим, что это квадратное уравнение имеет корни y1 и y2. Тогда, возвращаясь к переменной x, остаётся лишь решить два уравнения:
x + = y1; x + = y2.
Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (где все коэффициенты отличны от нуля) также называют возвратным. Здесь после почленного деления на x2 получаем:
ax2 + bx + c + b 
2 = 0,
a( x2 + 
) + b( x + 
) + c = 0. (2)
Если y = x + , то y2 = (x + )2, откуда x2 + = y2 – 2k.
С помощью новой переменной y уравнение (2) можно переписать в виде квадратного уравнения
a(y2 – 2k) + by + c = 0.
Если это уравнение имеет корни y1 и y2, то остаётся решить два уравнения:
x + = y1; x + = y2 .
Пример 2. Решите уравнение x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 1 = 0.
Решение.
Перепишем это уравнение в виде (x4 + 1) + 5(x3 + x) + 6x2 = 0.
Разделим обе части на x2 
, т. к. очевидно, что x = 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, потери корня не произойдёт.
(x2 + + 5(x + ) + 6 = 0.
Введём новое неизвестное x + = y, тогда x2 + = y2 – 2.
Получим уравнение y2 + 5y + 4 = 0,
y1 = - 1, y2 = - 4.
Решая уравнения x + = - 1, x + = - 4, получим x1,2 = - 2 
.
Ответ. - 2 .
III. Практическая часть.
Пример 3. Решите уравнение 5x3 – 4x2 – 4x + 5 = 0.
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения
5x3 – 4x2 – 4x + 5 = 5(x3 + 1) – 4x(x + 1) = 5x(x + 1)(x2 – x + 1) - 4x(x + 1) =
= (x +1)(5x2 – 9x +5).
Перепишем уравнение в виде
(x +1)(5x2 – 9x +5) = 0,
x +1 = 0 или 5x2 – 9x +5 = 0,
x = - 1 D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ. -1.
Пример 4. Решите уравнение x4 – 12x3
+ 42x2 – 12x 
+ 1 = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на x2 , т. к. очевидно, что x = 0 не является корнем данного уравнения, получим
x2 – 12x + 42 - 
+ = 0,
(x2 + - 12 (x + ) + 42 = 0.
Пусть z = x + , тогда x2 + = z2 – 2, получим
z2 - 12 z + 42 = 0,
z1 = 10, z2 = 2.
Делая обратную замену
x + = 10, x + = 2.
Решая каждое уравнение в отдельности, находим корни
x1,2 = 5 
, x3,4 = 
.
Ответ. 5 ; .
Пример 5. Решите уравнение 9x4 + 3x3 + 6x2 + 2x + 4 = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на x2 .
9x2 + 3x + 6 + 
+ 
= 0,
(9x2 + ) + (3x + ) + 6 = 0,
((3x)2 + (
)2) + (3x + ) + 6 = 0.
Введём новую переменную b = 3x + , тогда 9x2 + = b2 – 12.
b2 + b – 6 = 0,
b1 = - 3, b2 = 2.
Делаем обратную замену 3x + = - 3, 3x + 
= 2.
x1,2 = 
, x3,4 = 
.
Ответ. , .
Пример 6 (для самостоятельного решения).
Решите уравнение 2x4 + 3x3 – 13x2 – 6x + 8 = 0.
Ответ. -1; 2; 
.
IV. Домашнее задание.
Решите уравнения
1. x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0,
2. 2x4 + 3x3 – 13x2 – 6x + 8 = 0,
3. 6x4 + 5x3 – 12x2 – 5x + 6 = 0.
Занятия 4 - 5.
Тема. Решение дробно-рациональных уравнений.
Цели занятия.
1. Систематизировать знания по данной теме, рассмотреть решение сложных дробно-рациональных уравнений.
2. Способствовать выработке умений и навыков у обучающихся при решении дробно-рациональных уравнений.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
