Программа элективного предмета по математике для учащихся 10 класса (стр. 4 )

3.  Развивать логическое мышление обучающихся.

Ход занятия.

I.  Организация группы.

II.  Объяснение.

Вообще понятие дробно-рациональных уравнений вводится на конкретных примерах. Обычно такие уравнения решаются по алгоритму.

Алгоритм решения уравнений с переменной в знаменателе дроби:

1.  найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2.  умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3.  решить получившееся целое уравнение;

4.  исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Обычно дробно-рациональные уравнения сводятся к квадратным.

Пример 1. Решите уравнение - = 2.

Решение.

Обозначим y = , тогда исходное уравнение примет вид

- = 2,

= 0, y , y ,

2y2 – 19y – 75 = 0, y1 = 12,5; y2 = - 3.

Решим уравнение, возвращаясь к исходной переменной

= 12,5; = - 3;

x1,2 = ; x3 = 0, x4 = - 2.

Пример 2. Решите уравнение = x2 – 4x + 3.

Введём обозначение t = x2 – 4x + 1, получим = t + 2, t ,

t2 + 2t – 3 = 0, t1 = - 3, t2 = 1.

Имеем x2 – 4x + 1 = - 3; x2 – 4x + 1 = 1;

x1,2 = 2; x3 = 0; x4 = 4.

Ответ. 0; 2; 4.

III.  Практическая часть.

Решите уравнения

1.  + = 4 = 0 (пояснение: решается заменой = t),

2.  = 6 (пояснение: разделить числитель и знаменатель дробей на x , а затем ввести замену 2x + = t),

3.  x( )(x + ) = 6 ( пояснение: ввести замену u = x· ; v = x +

IV.  Самостоятельная работа.

I В

1.  x6 – 4x3 + 3 = 0,

2.  (2 – x)6 + 9(2 – x)3 + 8 = 0,

3.  2( x + )2 + x + - 10 = 0,

4.  2x2 + + x + – 6 = 0.

II В

1.  x6 – 7x3 - 8 = 0,

2.  (2 – x – x2)6 – 14,7(2 – x – x2)3 + 57 = 0,

3.  ( 2x + )2 + 2x + - 12 = 0,

4.  9x2 + + 3x + – 14 = 0.

V.  Самостоятельная работа (на занятие).

Решите уравнения

I В

1.  (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) – 24 = 0,

2.  x4 + x2 + 6x – 8 = 0,

3.  x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1 = 0,

4.  x4 – 3x3 + 3x2 –x = 0,

5.  (x2 + 1)2 = 4(2x - 1),

6.  x4 – 2x3 - x2 – 2x + 1 = 0,

7.  (x2 + x – 2)( x2 + x – 3) = 12.

II В

1.  (x2 - 5x)2 + 10(x2 - 5x) + 24 = 0,

2.  2x4 + x3 – 11x2 + x + 2 = 0,

3.  x4 – x3 - 10x2 + 2x + 4 = 0,

4.  x4 + x3 - 12x2 = 0,

5.  8x4 + 8x3 - x - 190 = 0,

6.  6x4 + 25x3 + 12x2 - 25x + 6 = 0,

7.  (2x2 - 3x + 1)( 2x2 + 5x + 1) = 9x2.

VI.  Домашнее задание.

Решите уравнения

1.  = - 1,5,

2.  x2 + ( )2 = 8,

3.  - = - ,

4.  x2 – x + 1)2 – 6x2x2 – x + 1)2 + 5x4 = 0.

Занятия 6 - 7.

Тема. Уравнения с модулем.

Цели занятия.

1.  Систематизировать и обобщать известные обучающимся сведения об уравнениях с модулем, научить решать уравнения с модулем.

2.  Развивать логическое мышление обучающихся.

Ход занятия.

I.  Организация группы.

II.  Объяснение.

Напомнить учащимся определение модуля.

Пример 1. Решите уравнение

+ x + 1 = 0.

Решение.

Воспользуемся определением модуля, тогда наше уравнение равносильно совокупности систем

⇔⇔⇔ x = .

.

Пример 2. Решите уравнение (x2 + 4x + 3) = 0.

Решение.

Данное уравнение равносильно или = 0.

Второе уравнение решений не имеет.

⇔⇔

Ответ. – 3; - 1.

Пример 3. Решите уравнение x4 + x2 + 4 = 2x3 + 12.

Решение.

Воспользуемся определением модуля, тогда:

1)  Если 0 , т. е. x x , то

x4 + x2 + = 2x3 + 12,

x4 - 2x3 + + 12 = 0.

Если данное уравнение имеет рациональные корни, то они могут быть только целыми, т. к. старший коэффициент уравнения равен 1. Всего корней четыре: x1, x2, x3, x4; причём x1· x2· x3· x4 = - 12. Корнями этого уравнения могут быть делители числа 12, т. е. числа

Проверяем число x = - 1. При подстановке этого числа вместо x получаем: 1 + 2 + 5 + 4 – 12 = 0; значит x = - 1 есть корень уравнения.

Применим схему Горнера

f(x)	an	an–1	…	a1	a0
c	bn–1 = an	bn–1 = cbn–1 + + an–1	…	b0 = cb1 + a1	r = cb0 + a0

Так как деление производится нацело (c является корнем многочлена), то остаток r = 0. Справедливо равенство:

f(x) = (x – c)(bn–1xn–1 + bn–2xn–2 + … + b0).

Пример 1. Решить уравнение x3 + x2 – 2 = 0.

Решение.

Если данное уравнение имеет рациональные корни, то они могут быть только целыми, так как старший коэффициент уравнения равен 1. Всего корней три: x1, x2,x3; причем

x1 · x2 · x3 = –2. Корнями этого уравнения могут быть делители числа 2, т. е. числа ±1, ±2. Испытывая +1, подставляя +1 вместо x в левую часть данного уравнения, получим: 1 + 1 – 2 = 0; значит x1 = 1 есть корень уравнения. С другой стороны, результаты подстановки вместо x числа 1 в левую часть уравнения есть нуль, значит, многочлен делится на (x – 1) нацело.