Программа элективного предмета по математике для учащихся 10 класса (стр. 9 )

Для графического решения данного уравнения запишем его в таком виде:
x4 = – ax2 – bx – c.

Тогда приходим к системе

Полагая здесь x = x1 , y = y1x12 , получим

Эта система эквивалентна системе

Данная система, в свою очередь, эквивалентна системе

Из систем вытекают два известных способа решения уравнения четвертой степени x4 + ax2 + bx + c = 0.

В первом из них искомые корни определяются пересечением параболы с фиксированной параболой, во втором — пересечением окружности с фиксированной параболой. Окружность, определяемая уравнением, имеет центр в точке S и радиус R = .

Таким образом, из сказанного следует, что достаточно на декартовой системе построить одну параболу y = x2 , чтобы иметь возможность с помощью циркуля и линейки решить любое уравнение третьей и четвертой степени.

Пример 6. Решить уравнение x4 – 15x2 – 10x + 24 = 0 графическим способом.

Решение

Используя вышеописанный метод решением данного уравнения будут являться абсциссы точек пересечения параболы y =x2 окружности с центром в точке Q (5;8) и радиусом R = .

Получили абсциссы четырех точек пересечения, которые равны:
x1 » –3; x2 » –2,1;
x3 = 1; x4 = 4.

Ответ. –3; –2,1; 1; 4.

Замечание.

Легко заметить, что при решении уравнений четвертой степени нам требуется построение параболы y = x2. Для того чтобы на построение уходило меньше времени и более четко выполнялось построение, я рекомендую, чтобы учащиеся имели каждый при себе шаблоны построения параболы.

III. Домашнее задание.

Подобрать задания, чтобы уравнение четвёртой степени решалось графически двумя различными способами.

Занятия 31 - 32.

Тема. Исследование корней уравнений четвёртой степени с действительными коэффициентами.

Цели занятия.

1.  Показать обучающимся как проводить исследование корней уравнений четвёртой степени.

2.  Развивать логическое мышление обучающихся.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

Пусть все коэффициенты уравнения a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0 реальны. Тогда могут быть следующие три случая:

1) все корни действительны;

2) два корня действительны, а два – сопряженно-комплексные;

3) все корни мнимые (попарно сопряжённы).

Из

видно, что в случаях 1) и 3) D > 0, а в случае 2) D < 0. Разберем подробнее случаи 1) и 3). в случае 1) u2, v2, w2 > 0, то есть уравнение

z3 + 2az2 + (a2 – 4c)z – b2 = 0,
имеет все три корня положительные (один из них может быть равен нулю); из D = 16D1 следует, что все три корня данного уравнения должны быть реальны; чтобы они были и положительными, мы по теореме Декарта заключаем, что должно быть: a < 0, a2 – 4c > 0, чтобы в ряду 1, 2a, a2 – 4c, –b2 были три переменны знака. Это условие необходимо и достаточно, ибо при нем отрицательных корней уравнение z3 + 2az2 + (a2 – 4c)z – b2 = 0, иметь не может. В случае, если один из корней данного уравнения равен нулю, то b = 0 и два остальные корня удовлетворяют квадратному уравнению:
z2 + 2az + (a2 – 4c) = 0,
оба корня этого уравнения положительны опять-таки при a<0, a2 – 4c > 0.

Итак, при D ¹ 0:

1) D > 0, a < 0, a2 – 4c > 0, – все корни действительны;

2) D < 0, – два корня действительны и два мнимы.

3) D > 0, но не выполнены одновременно: a < 0, a2 – 4c > 0, — все корни мнимы.

Пусть теперь D = 0. В случаях 1 и 2 (о кратности корней) не может быть мнимых корней; эти случаи характеризуются тем, что g2 = 0, g3 = 0, или

a2 + 12c = 0, 8a3 + 27b2 = 0.

Заметим, что при a ¹ 0 и b ¹ 0 и c ¹ 0, при этом a < 0, a2 – 4c > 0. не равен нулю, но e1, e2, e3 при этом = 0.

3. Пусть x0 = x1 ¹ x2 = x3 ; тогда по (12): e2 = e3 ¹ e1 . Далее (**)

u + v + w = u – v – w, –u + v – w = –u – v + w;
следовательно u + w = 0, v – w = 0, то есть v = w ¹ 0 ¹ u (иначе был бы случай 1). Итак уравнение z3 + 2az2 + (a2 – 4c)z – b2 = 0 имеет двойной корень, равный нулю, то есть a2 – 4c = 0, b = 0, но a ¹ 0. Далее: g2 ¹ 0, g3 ¹ 0, но D = 0.

Обратно: если a ¹ 0, но b = 0, a2 – 4c = 0, то уравнение имеет два двойных корня. Именно тогда z3 + 2az2 + (a2 – 4c)z – b2 = 0 имеет два корня, равных нулю, и может быть один из трех случаев:

a)   v = w = 0 ¹ u; тогда x0 = x1 ¹ x2 = x3,

b) w = u = 0 ¹ v; тогда x0 = x2 ¹ x1 = x3,

c)   u = v = 0 ¹ u; тогда x0 = x3 ¹ x1 = x2.

4.Пусть x2 = x3, но x0 , x1 , x2 все различные; тогда по (11): e2 = e3 ¹ e1 . Далее [по (**)]: –u + v – w = –u – v + w, v = w ¹ u [иначе был бы случай 1 или 2], и v = w ¹ 0 [иначе был бы случай 3]; следовательно a2 – 4c и b не равны одновременно нулю. Далее, здесь тоже: g2 ¹ 0, g3 ¹ 0, но D = 0.

Обратно: если D = 0, но a2 – 4c и b не равны одновременно нулю и g2 ¹ 0, g3 ¹ 0, то уравнение имеет один двойной корень и два простых. Именно тогда уравнение z3 + 2az2 + (a2 – 4c)z – b2 = 0 имеет один двойной корень, не равный нулю, и один простой. Имеем здесь три случая:

a)   ±v = w ¹ u, тогда x2 = x3, но x0 , x1 , x2 различны;
или x0 = x1, но x1 , x2 , x3 различны;

b) ±w = u ¹ v, тогда x1 = x3, но x0 , x1 , x2 различны;
или x0 = x2, но x0 , x1 , x3 различны;

c)   ±u = v ¹ w, тогда x0 = x3, но x0 , x1 , x2 различны;
или x1 = x2, но x0 , x1 , x3 различны;

5.  Как известно из общей теории, все корни различны тогда и только тогда, если D ¹ 0.

III. Практическая часть.

Исследуйте корни уравнений:

1.  x4 – 2x3 + x - 132 = 0,

2.  (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4,

3.  x4 + x3 – 3x2 - 2x + 2 = 0,

4.  6x4 - 17x3 + 17x2 - 17x + 6 = 0,

5.  3x4 - 24x3 + 53x2 - 20x + 12 = 0.

IV. Домашнее задание.

1.  x4 - 10x3 + 35x2 - 50x + 24 = 0,

2.  x4 - 4x2 + 3 = 0,

3.  x4 - 2x3 + x2 - 8x - 12 = 0,

4.  x4 - 3x3 - x2 - x - 2 = 0.

Занятия 33 - 35

Тема. Итоговое занятие.

Защита рефератов, показ презентаций.