Программа элективного предмета по математике для учащихся 10 класса (стр. 7 )

Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (где все коэффициенты отличны от нуля) также называют возвратным. Здесь после почленного деления на x2 получаем:

ax2 + bx + c + b 2 = 0,

a( x2 + ) + b( x + ) + c = 0. (1)

Если y = x + , то y2 = (x + )2, откуда x2 + = y2 – 2k.

С помощью новой переменной y уравнение (1) можно переписать в виде квадратного уравнения

a(y2 – 2k) + by + c = 0.

Если это уравнение имеет корни y1 и y2, то остаётся решить два уравнения:

x + = y1; x + = y2 .

Пример 1. Решите уравнение x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 1 = 0.

Решение.

Перепишем это уравнение в виде (x4 + 1) + 5(x3 + x) + 6x2 = 0.

Разделим обе части на x2 , т. к. очевидно, что x = 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, потери корня не произойдёт.

(x2 + + 5(x + ) + 6 = 0.

Введём новое неизвестное x + = y, тогда x2 + = y2 – 2.

Получим уравнение y2 + 5y + 4 = 0,

y1 = - 1, y2 = - 4.

Решая уравнения x + = - 1, x + = - 4, получим x1,2 = - 2 .

Ответ. - 2 .

III. Практическая часть.

Решите уравнения

1.  2(x - )2 + x + ,

2.  2x2 + + x + ,

3.  2x4 + x3 – 6x2 + x + 2 = 0,

4.  9x4 + 3x3 – 14x2 - 2x + 4 = 0,

5.  9x4 - 9x3 + 10x2 - 3x + 1 = 0.

IV. Домашнее задание.

1.  (2x + )2 + 2x + ,

2.  2x4 - 7x3 + 10x2 - 7x + 2 = 0,

3.  9x4 - 3x3 – 14x2 + 2x + 4 =

Занятие 24.

Тема. Способ Феррари.

Цели занятия.

1.  Рассмотреть способ решения уравнений четвёртой степени (способ Феррари).

2.  Сравнить способ Феррари с другими способами решения уравнений.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

Общий вид уравнения четвертой степени
a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0;
его корни: x0, x1, x2, x3; a0 ¹ 0; делим обе части на a0 и делаем подстановку:

x = y – ; тогда получим:
y4 + ay2 + by + c = 0, ()
где:
a = – × ; b = – × + × ;
c = – × + × – .

Существует много способов решения уравнения 4–й степени; изложим три из них.

— Способ Феррари (Ferrari)

Преобразовываем левую часть (1) следующим образом:
y4 + ay2 +by + c = – 2y2r + by – – ar – r2 + c = 0;
выбираем неопределенную величину "r " так, чтобы левая часть уравнения превратилась в разность квадратов двух целых функций от "y"; для этого должно быть:
b2 – 4·2r = 0,
или
8r3 + 8ar2 + (2a2 – 8c)r – b2 = 0 .

Это уравнение для "r ", оно называется разрешающим кубическим уравнением или кубической резольвентой данного уравнения четвертой степени. Мы увидим, что это же самое уравнение встречается и в других способах, его вообще нельзя избежать при решении уравнения четвертой степени.

Найдя его корень "r ", получим:
– 2r = 0.

Пример 1. Решить уравнение методом Феррари.

x4 – 2x3 + 2x2 +4x – 8 = 0.

Решение

x4 – 2x3 + x2 = 8 – 4x – x2 ,

(x2 – x)2 = 8 – x2 – 4x,

(x2 – x + a)2 = 8 – x2 – 4x + a2 – 2xa + 2x2a,

x2(2a – 1) – x(2a + 4) + (a2 + 8) = 0 ,

= (2 + a)2 – (2a – 1)(a2 + 8) = 4 + 4a + a2 – 2a3 – 16a + a2 + 8 = 0,

–2a3 + 2a2 – 12a + 12 = 0,

a3 – a2 + 6a – 6 = 0,

a = 1,

(x2 – x + 1)2 = x2 – 6x + 9.

Решим каждое уравнение в отдельности

x2 – x + 1 = x – 3 ,

x2 – 2x + 4 = 0 ,

D = 4 – 16 = – 12 < 0 — уравнение действительных корней не имеет.

x1,2 = 1 ± i

x2 – x + 1 = – x + 3,

x2 = 2,

x3,4= ±

Ответ. ±; 1 ±i.

III. Практическая часть.

Решите уравнения

1.  x4 + 4x3 - 2x2 - 12x + 9 = 0,

2.  x4 + x3 + x + 1 = 4x2,

3.  x4 – 5x3 + 4x2 + 5x + 1 = 0.

IV.  Домашнее задание.

Решите уравнения

1.  x4 + x3 - 16x2 + 2x + 4 = 0,

2.  x4 + 2x3 - 9x2 - 6x + 9 = 0,

3.  2x4 – 7x3 - 7x2 + 3x + 1 = 0,

4.  2x4 – 5x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0.

Занятие 25.

Тема. Метод Декарта.

Цели занятия.

1.  Рассмотреть способ решения уравнений четвёртой степени (метод Декарта).

2.  На примерах показать отличие данного способа от других.

3.  Развивать логическое мышление обучающихся.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

Постараемся левую часть уравнения разложить на два квадратных множителя:
a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = a0(x2 + px +q)(x2 + p'x + q');
перемножая в правой части и сравнивая коэффициенты, найдем:
p + p' = ; q + q' + pp' = ; pq' + qp' = ; qq' = ;

Обозначим еще: q + q' = 5; тогда по второму из написанных уравнений:

pp' = – 5. Берем теперь произведение:
·= = 0,
ибо оба сомножителя равны нулю.

Иначе:
= 0;
или, наконец:

= 0;

Это — кубическое уравнение для s. Пусть a0 = t, тогда получим:

t3 – a2t2+ ( a1a3 – 4a0a4 )t + 4a0a2aaa4 – a0a23 – a12a4 = 0.

Положим: t = u + , тогда это уравнение перейдет в уравнение:
u3 – 4g2u + 16 g3 = 0 ,
где:
a1a3 – 4a0a4 – = – 4g2 ;
a0a2a4 – a0a32 – a12a4 + a1a2a3 – a23 = 16g3;
g2 и g3 — инварианты функций 4–й степени.

Положим еще u = – 4s, тогда получим:
4g3 – g2s – g3 = 0 ,
нормальная форма кубического разрешающего уравнения.

Корни этого уравнения обозначим через e1 , e2 , e3 . Найдем дискриминант уравнения:
44(e2 – e3)2(e3 – e1)2(e1 – e2)2 = 16(g23 – 27g32).

Найдя один корень уравнения 4g3 – g2s – g3 = 0 или t3 – a2t2+ ( a1a3 – 4a0a4 )t + + 4a0a2aaa4 – a0a23 – a12a4 = 0,

мы найдем и s, после этого получим:
p + p' = ; pp' = – s,
то есть p и p' — корни квадратного уравнения
Z2 – Z + – s = 0,
далее: q + q' = s, qq' = , то есть q и q' — корни уравнения:
Z2 – sZ + = 0.

И исходное уравнение распадается на два уравнения:
x2 + px + q = 0 и x2 + p'x + q' = 0 ;
пусть x0 , x1 — корни первого, x2 , x3 — корни второго уравнения, тогда:
x0 + x1 = –p; x0x1 = q; x2 + x3 = –p'; x2x3 = q' ;
отсюда
q + q' = x0x1 + x2x3 = s = – ,
где s — один из корней уравнения; пусть это будет e1 .

Итак,
(1)

Ибо, если мы вместо корня l1 возьмем, например, корень l2, то подобно же разложим наше уравнение четвертой степени на два квадратных уравнения, только распределение корней x0 , x1 ,x2 ,x3 в них будет иная. Пусть тогда одно квадратное уравнение имеет, например, корни x0 , x2 , а другое x1 , x3 . Подобно же, корню l3 соответствует распределение: x0 ,x3 и x1 , x2 . заметим, что иных распределений нет. Вычитая уравнения (1) друг из друга, получаем:

(2)

Отсюда получаем дискриминант уравнения четвертой степени:

то есть, если D1 — дискриминант уравнения 4g3 – g2s – g3 = 0 , то имеем: D = 16D1 .

Согласно 4g3 – g2s – g3 = 0 имеем: l1 + l2 + l3 = 0 или 3l1 – (l1 – l2) + (l1 – l3); отсюда по (2) найдем:
(*)

т. е. корни разрешающего кубического уравнения выражаются рационально через корни данного уравнения четвертой степени.

Пример 1. Решить уравнение x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 методом Декарта.

Решение.

x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0;

x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = (x2 + px + q)(x2 + p,'x + q');

p + p' = –2; q + q'+ pp' = 2; pq' + qp' = 4;

qq' = 8; q + q' = 5; pp' = – s = 2 – s.

s найдем из:
= 0

С нашими значениями :

= 0, Þ

–64(2 – s) – 8s – 8s – 2s2(2 – s) – 32 + 64 = 0,

2s3 – 4s2 + 48s – 96 = 0,

s3 – 2s2 + 24s – 48 = 0,

s2(s – 2) + 24(s – 2) = 0,

(s – 2)(s2 + 24) = 0,

s = 2, s = ± i.

Возьмем s = 2.

Используем, что p и p' являются корнями уравнения:

z2– z + – s= 0.

Найдем их: p = –2, p' = 0.

А q и q' найдем из уравнения

z2 – sz + = 0.

q = 4, q' = –2.

Так как x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = (x2 – 2x + 4)(x2 – 2).

Найдем корни

x2 – 2x + 4 = 0,

D = 4 – 16 = –12, - 12 < 0,

x1 = 1 + i,

x2 = 1 – i,

x2 – 2 = 0.

x3 = , x4 = – .

Ответ. 1 ± i; ±.

III. Практическая часть.

Решите уравнения:

1.  2x4 – 5x3 - x2 + 3x + 1 = 0;