Элементы линейной алгебры. Матрицы (стр. 2 )

c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... +a ik b kj, i=1, ..., m, j=1, ..., n.

Матрицы A и B называются согласованными, если число столбцов первой из них равно числу строк второй. Перемножать можно только согласованные матрицы.

Произведение матриц A и B обозначается AB , т. е. C=AB.

Правило умножения матриц легко запомнить, если сформулировать его так: элемент c ij матрицы С, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца равен скалярному произведению i-й вектор-строки матрицы А и j-го вектор-столбца матрицы В.

Пример 4. Найти произведение матриц и .

.

Пример 5. Найти произведение матриц и .

.

Перечислим некоторые свойства умножения матриц.

1. Умножение матриц ассоциативно:

(АВ)С=А(ВС).

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц:

А(В+С)=АВ+АС; (В+С)А=ВА+СА.

3. Умножение матриц некоммутативно. Произведение квадратных матриц зависит от порядка сомножителей и в общем случае не обладает перестановочным свойством .

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы:

ЕА=АЕ=А.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицы. Это и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

Пример 6. Вычислить АЕ и ЕА для матриц третьего порядка:

и .

.

.

Откуда АЕ=А и ЕА=А.

Пример 7. Вычислить матрицу 2A-BA, где

Пример 8. Проверить перестановочность матриц

Так как АВ=ВА , матрицы перестановочны.

Пример 9. Проверить перестановочность матриц В и С

Матрицы не перестановочны.

3. Возведение матрицы в степень

Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:

A0 =E, A1 =A, A 2 =AA, ..., A n =A n-1 A, ... .

Пример 10. Найти A0,A1 ,A 2, если .

По определению A0=Е= A1=A.

A 2= A A=.

4. Клеточно-диагональные матрицы.

Операции с ними

Пусть квадратные матрицы. Клеточно-диагональная матрица (или блочно-диагональная) имеет вид

. (2)

Такую матрицу удобно обозначить следующим образом: .

Отметим свойства клеточно-диагональных матриц:

1. Для любого

2. Пусть ─ клеточно-диагональные матрицы с одинаковыми размерами соответствующих диагональных клеток. Тогда

3. Ранг клеточно-диагональной матрицы равен сумме рангов ее диагональных клеток. Определение ранга матрицы будет дано ниже.

Простейшим случаем клеточно-диагональной матрицы является диагональная матрица, для которой также справедливы свойства 1-3.

Пример 11.

Найти произведение матриц .

Решение. Матрицы А и В являются диагональными, поэтому на основании свойства 2 получим:

.

5. Транспонирование матрицы

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.

Матрица, получающаяся из произвольной матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к исходной матрице и обозначается A T:

Если матрица А имела размерность , то АТ имеет размерность .

Легко убедиться, что верны соотношения:

(AT )T =A;

(A+B)T=AT +BT ;

(AB)T =BT AT.

Квадратная матрица A, для которой A T = A, является симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Пример 12. Найти А Т , если .

Решение.

.

6. Обратная матрица

Матрица A -1 называется обратной к матрице A , если выполняются соотношения A A -1 =A -1A=E.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует ее обратная матрица.

Матрица A называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Если матрица A невырождена, то для нее существует единственная обратная матрица A -1.

Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1.

Для того, чтобы построить матрицу, обратную к матрице А, надо:

а) найти ее определитель det(A) и убедиться, что он отличен от нуля;

б) составить матрицу из алгебраических дополнений матрицы А;

в) транспонировать ее и разделить на det(A).

Пример 13. Найти А -1 , если

а) определитель матрицы А найдем в виде разложения по элементам первой строки

.

Матрица не вырожденная и имеет обратную.

б)

в) .

Легко убедиться, что A A -1 =A -1A=E.

7. Ортогональные матрицы

Квадратная матрица U, для которой U -1 =UT, называется ортогональной матрицей.

Ортогональная матрица обладает свойствами:

·  Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

·  Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

·  Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю.

Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.

Пример 14. Проверить, что матрица ортогональна.

Матрица U ортогональна.

8. Линейное пространство. Основные понятия