Элементы линейной алгебры. Матрицы (стр. 5 )

2. (ассоциативность относительно умножения на число);

3. (дистрибутивность относительно сложения векторов) ;

4. ,

для любых х, у, z из Е и любого действительного числа .

Свойства скалярного произведения позволяют обращаться с ним по обычным арифметическим правилам: раскрывать скобки и выносить за скобки общий множитель, а также выносить число за знак скалярного произведения.

Скалярное произведение порождает норму в пространстве Е, которую часто называют длиной вектора, так как норма, введенная через скалярное произведение, есть обобщение геометрической длины трехмерного вектора.

Число называется длиной вектора x.

Определенная таким образом норма удовлетворяет трем аксиомам нормы (убедитесь в этом самостоятельно).

Число называется расстоянием между векторами х, у.

Углом между векторами х, у, , называется угол , косинус которого определяется формулой .

Векторы х, у из евклидова пространства Е называются ортогональными, если х∙у = 0.

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, поэтому в дальнейшем будем рассматривать в n-мерном евклидовом пространстве Еn только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство Rn ─ пространство  вектор-столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой

.

Для любых из Rn справедливы формулы, определяющие длину вектора и угол между векторами:

.

Пример 19. Найти длину векторов , угол между ними.

Решение.

Векторы ортогональны.

Все евклидовы пространства размерности n изоморфны пространству Rn. Скалярное произведение векторов, угол между ними, длина вектора характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.

Если и ─ два ортонормированных базиса в n мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому ─ ортогональная матрица.

Замечание. Евклидово пространство обобщает геометрические понятия для плоских и пространственных свободных векторов. Операциям над свободными векторами поставлены в соответствие абстрактные операции умножения на число и сложения элементов линейного пространства. Коллинеарности и компланарности векторов соответствует линейная зависимость конечной системы векторов. Обобщены также понятия длины вектора, расстояния, скалярного произведения. Путь от конкретных математических объектов к их абстрактным обобщениям весьма часто встречается в математике. В данном случае от обычного вектора как направленного отрезка пришли к понятию вектора как элемента линейного пространства произвольной природы.

12. Отображение. Линейный оператор.

Матрица линейного оператора

Отображение – это закон, по которому каждому элементу из множества Х ставится в соответствие элемент множества Y. Такое соотношение элементов записывается в виде . Пишут также и говорят, что отображение f действует из X в Y. Логически понятие отображение совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование.

Результат действия отображения f на элемент х обозначают у=fх. При этом у называют образом элемента х; элемент х ─ прообразом элемента у.

Пример 20. Найти образ отрезка [1,2] при отображении y=3x+2.

Решение. Так как при линейном отображении образом отрезка будет являться отрезок , то достаточно найти
искомый образ – [5;8].

Пусть заданы линейные пространства Х и Y. Отображение, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется линейным оператором, действующим из Х в Y, если выполняются условия А(х1+х2)= Ах1+Ах2; А(αх)= αАх .

Множество элементов линейного пространства х, для которых определено действие оператора А, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора А , называют образом оператора и обозначают Im(A).

Если пространства Х и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве Х и является эндоморфизмом. В дальнейшем будем рассматривать именно такие линейные операторы..

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве Х размерности n, ─ базис в Х. Тогда ─ образы базисных векторов .

Матрица ,

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n. Верно и обратное: каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

связывают координаты образа у=Ах с координатами прообраза х.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора изменяется. Пусть в пространстве Х с базисом задан линейный оператор А с матрицей Ае.. Перейдем в пространстве Х от базиса к базису . Обозначим матрицу оператора А в новом базисе .

При этом имеет место соотношение, связывающее матрицы оператора А в старом и новом базисе:

где – матрица перехода от базиса к базису .

13. Собственные значения и собственные векторы

Пусть А ─ линейный оператор, действующий в линейном пространстве L.

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор х соответствующим собственным вектором линейного оператора А, если имеет место соотношение