Это означает, что все n-мерные линейные пространства обладают свойствами, аналогичными таковым в пространстве Rn векторов-столбцов из n действительных чисел, т. е. что все они изоморфны пространству Rn.
Линейные пространства L и M называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам l1 и l2 из L соответствуют векторы m1 и m2 из M, то вектору l1 + l2 соответствует вектор m1 + m2 и при любом 
вектору 
соответствует вектор
.
Изоморфизм n-мерных линейных пространств пространству Rn означает, что соотношения между элементами n-мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из Rn и операции с ними. Всякое утверждение относительно векторов из Rn справедливо для соответствующих элементов любого n-мерного линейного пространства.
Теорема. Система n векторов 
,
,...,
образует базис в Rn тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы со столбцами 
:
.
Для векторов 
это означает, что они образуют базис в L тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов.
9. Матрица перехода к новому базису
Пусть и 
- два базиса в L. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица 
, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :
;
;
.
Вектор 
линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если
,
то координаты вектора в старом базисе, и его координаты в новом базисе связаны соотношениями
.
Отметим некоторые свойства матриц перехода:
· 
· 
· 
.
Исследование линейной зависимости
Пусть А прямоугольная матрица размерности 
:
.
Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из Rn:
и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость ─ это значит установить, является система векторов линейно зависимой или нет.
Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы.
Эта теорема позволяет исследовать систему векторов Rn на линейную зависимость следующим образом.
Пусть 
─ исследуемая система векторов. Запишем матрицу В, столбцами которой являются векторы : 
, и вычислим ее ранг 
. Если r= k , то исследуемая система векторов линейно независима, если же r<k, то она линейно зависима.
Ранг матрицы равен максимальному порядку отличного от нуля минора матрицы.
Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Напомним, что под элементарными преобразованиями строк или столбцов матрицы понимается умножение на число и сложение.
Вычислить ранг матрицы В можно приведением ее к треугольной форме элементарными операциями со строками, при этом некоторые строки могут оказаться нулевыми, если ее ранг меньше количества строк r<k
.
Векторы-столбцы 
, входящие в базисный минор, определитель которого не равен нулю, образуют линейно независимую подсистему, а векторы 
следующим образом линейно выражаются через базисные векторы:
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Для любой матрицы ранг по строкам и ранг по столбцам совпадают.
Пример 16. Найти ранг матрицы 
.
Решение.
Вычислим определитель матрицы, это несложно сделать, так как матрица А третьего порядка. Вычисляя определитель матрицы разложением по элементам третьей строки, имеем:
.
Так как определитель матрицы – это ее единственный минор третьего порядка, и он не равен нулю, ранг матрицы равен 3.
Пример 17. Найти ранг матрицы 
.
Решение.
Вычислим определитель матрицы разложением по элементам первой строки:
Так как определитель матрицы равен нулю, а минор второго порядка не равен нулю, ранг матрицы равен 2.
Пример 18. Определить ранг матрицы 
Решение
При большом порядке матрицы, как правило, нерационально вести поиск ненулевого минора, тем более, что матрица не является квадратной. Чтобы найти ранг матрицы, элементарными преобразованиями можно привести ее к треугольному виду, количество ненулевых строк равно рангу матрицы.
Приведем матрицу А к треугольному виду элементарными преобразованиями со строками, для этого из третьей и из пятой строки вычтем первую строку, затем вторую строку вычтем из третьей, четвертой и пятой, и, наконец, третью строку вычтем из четвертой и пятой, в результате получим
.
В матрице три ненулевых строки, ранг матрицы 
Линейное пространство Е называется евклидовым, если каждой паре векторов х, у из этого пространства поставлено в соответствие действительное число х∙у, называемое скалярным произведением, и удовлетворяющее следующим свойствам:
1. 
(коммутативность);
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
