Элементы линейной алгебры. Матрицы (стр. 6 )

. (5)

Пусть А ─ матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением

.

То есть собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы , которое существует тогда и только тогда, когда

. (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением.

Из него вычисляются собственные значения линейного оператора, а соответствующие собственные векторы находятся как решения соответствующих однородных систем. Собственные векторы определены с точностью до числового множителя.

Собственные значения матрицы А и ее собственные векторы, также удовлетворяют соотношениям (5), (6).

Для собственных значений и собственных векторов справедливы следующие утверждения:

·  характеристическое уравнение оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, является многочленом n-й степени относительно;

·  линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

·  собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве L, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве L; и этот базис называют собственным базисом оператора;

Матрица оператора в собственном базисе имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Пример 21. Найти собственные значения матрицы

Решение. Собственные числа матрицы находятся из характеристического уравнения

Пример 22. Найти собственные значения матрицы .

Решение. Составим характеристическое уравнение для определения собственных чисел матрицы

;

Убедитесь самостоятельно, решая соответствующую однородную систему, что собственный вектор, соответствующий этой матрице, имеет вид

В заключение приведем без доказательства две теоремы.

Теорема 1. Собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны.

Теорема 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны.

14. Тесты для самостоятельной работы

Тест 1

Соответствие между видом матрицы и ее названием :

а) нулевая б) единичная в) диагональная г) треугольная

Тест 2

Сумма матриц и равна

а); б) ; в); г) .

Тест 3

Произведение матриц и равно

а) ; б) ; в) ; г) .

Тест 4

Произведение матриц и равно

а) ; б) ; в) ; г) .

Тест 5

Произведение матриц и равно

а) ; б) ; в) ; г) .

Тест 6

Выражение 3A+BA, где равно

а) ; б) ; в) 4; г) ; д) .

Тест 7 Среди матриц , , перестановочны матрицы

а) А и В; б) А и С; в) В и С; г) нет перестановочных.

Тест 8

Значение матричного многочлена при равно

а); б) ; в) ; г) .

Тест 9

Значение матричного многочлена при равно

а); б) ; в) ; г) .

Тест 10

Для матрицы матрица равна

а) ; б) ; в) ; г) .

Тест 11

Для матрицы матрица равна

а); б) ; в) ; г) .

Тест 12.

Для матрицы ее обратная матрица равна

а) ; б) ; в) ; г) нет обратной матрицы.

Тест 13

Для матрицы ее обратная матрица равна