Элементы линейной алгебры. Матрицы (стр. 3 )

Пусть М ─ множество элементов произвольной природы. Определим операции сложения и умножения на действительное число следующим образом:

паре элементов множестваотвечает элемент , называемый суммой x и y;

паре, состоящей из элемента произвольного числа отвечает элемент , называемый произведением числа и элемента x.

Часто встречающееся в определениях понятие « для всех, для каждого» удобно обозначать квантором общности , а понятие «существует» ─ квантором существования .

Множество L называется линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел выполняются аксиомы линейного пространства :

1. х+у=у+х, сложение коммутативно;

2. . х+(у+z)=(x+у)+z, сложение ассоциативно;

3. единственный нулевой элемент такой, что

4. элемента х единственный противоположный элемент – х такой, что

5. , умножение на число ассоциативно;

6. единичный элемент из L, такой, что

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8., , умножение элемента на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примеры линейных пространств.

1. Совокупность свободных векторов на плоскости R2 или в пространстве R3 с операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует линейное пространство. Это очевидно из основных свойств векторов. Нейтральный элемент есть 0 – вектор.

2. Рассмотрим упорядоченный набор n действительных чисел
и по аналогии с трехмерным пространством назовем его n-мерным вектором. Множество n-мерных векторов обозначим Rn . Операции сложения и умножения n-мерных векторов на число вводятся по аналогии с обычными векторами, то есть покоординатно. Операции над n-мерными векторами обладают теми же алгебраическими свойствами, что и операции над векторами на плоскости и в пространстве, и выполняются все аксиомы линейного пространства. Нейтральным элементом является вектор О с нулевыми координатами. Таким образом, Rn- - линейное пространство.

3. Множество действительных чисел R есть линейное пространство с обычными арифметическими операциями сложения и умножения чисел. Нейтральный элемент – ноль.

4. Совокупность прямоугольных матриц размерности образует линейное пространство относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Нейтральный элемент – нулевая матрица О. Следует отметить, что пространство Rn - ─ частный случай пространства матриц при m=1.

Замечание. Пространство векторов Rn – типичное линейное пространство. Поэтому линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы, независимо от их природы, векторами.

8.1. Понятие нормы

Нормой вектора х из линейного пространства L называется число , обладающее следующими свойствами:

1. тогда и только тогда, когда х=0.

2. .

3. .

Для обычного геометрического вектора его длина есть норма в пространстве свободных векторов. Условие 3, называемое неравенством треугольника, выражает то, что длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон.

В пространстве Rn норма вектора может быть введена как

. (3)

Несложно убедиться, что свойства нормы при этом все выполнены.

Это не единственный способ задать норму в пространстве Rn, например, норма может быть задана как

(4)

Каждая из формул (3)-(4) определяет норму в Rn. Несложно убедиться, что аксиомы нормы в этих случаях выполняются. Поэтому задать норму или, как говорят, нормировать пространство, можно по-разному.

Нормой матрицы А называется величина . Такая норма обладает всеми свойствами, присущими норме. Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы. Например, если

8.2. Базис и размерность линейного пространства.

Координаты вектора в заданном базисе

Вектор х линейного пространства L линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов .

Система векторов называется линейно зависимой, если найдется набор чисел , не все из которых равны нулю, такой, что выполняется равенство. Если из этого равенства следует, что ,то система векторов является линейно независимой.

Справедливо следующее утверждение.

Система векторов линейного пространства L линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов .

Пример 15. Векторы из L4 удовлетворяют уравнению и поэтому линейно зависимы. Любые два из этих векторов линейно зависимы.

Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+1)-го вектора линейно зависима, то число n называется размерностью пространства L и обозначается dim(L). В этом случае пространство L называют n-мерным линейным пространством или n-мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов n линейного пространства Ln образует базис пространства, и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса:

Числа называют координатами вектора x в базисе и обозначают . При этом для любых двух произвольных векторов n-мерного линейного пространства, и произвольного числа справедливо: