Элементы линейной алгебры. Матрицы (стр. 1 )

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(РГУПС)

, ,

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. МАТРИЦЫ

Методические указания

Ростов-на-Дону

2006

УДК 512.1

Беляк, О. А.

Элементы линейной алгебры. Матрицы: методические указания /, , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. ─ Ростов н/Д, 2006. ─ 36 с.

В методических указаниях приведены сведения о матрицах, рассматриваемых как элементы линейных пространств, освещены понятия базиса, линейного оператора, собственных чисел. Приведены задания для самостоятельной работы, выполненные в виде тестов.

Предназначены для студентов технических специальностей РГУПС.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. (РГУПС)

Учебное издание

, ,

,

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. МАТРИЦЫ

Методические указания

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано в печать 29.09.2006. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,09.

Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Изд. № 000. Заказ №

Ростовский государственный университет сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес университета; 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2

© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2006

Содержание

1. Матрицы. Основные определения

2. Основные операции над матрицами

3. Возведение матрицы в степень

4. Клеточно-диагональные матрицы. Операции с ними

5. Транспонирование матрицы

6. Обратная матрица

7. Ортогональные матрицы

8. Линейное пространство. Основные понятия

8.1. Понятие нормы

8.2. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

9. Матрица перехода к новому базису

10. Ранг матрицы. Исследование линейной зависимости

11. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы

12. Отображение. Линейный оператор. Матрица линейного оператора

13. Собственные значения и собственные векторы

14. Тесты для самостоятельной работы

15. Ответы к тестам

Библиографический список

1. Матрицы. Основные определения

Матрицы позволяют более просто представлять различные математические и физические операции с помощью числовых операций над элементами матриц. Понятие матрицы впервые появилось в середине ХIX века в работах У. Гамильтона [1] и А. Кэли [2]. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу [3], К. Жордану [4]. -Данилевский [5] развил теорию аналитических функций многих матричных переменных и применил ее к изучению систем линейных дифференциальных уравнений.

Матрица размерности – прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, элементы которой aij ,i=1,2,…m, j=1,2,…n, принадлежат некоторому множеству К.

. (1)

Элемент расположен на пересечении k-й строки и в l-го столбца матрицы (1).

Здесь будем рассматривать важный случай, когда в качестве множества К выступает поле действительных чисел R.

Матрица размера называется вектор-столбцом, а матрица размера ─ вектор-строкой.

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, m=n , n при этом называется порядком матрицы. Для квадратных матриц определена единичная матрица ─ матрица, все элементы которой на главной диагонали единицы, а остальные ─ нули:

.

Главная диагональ квадратной матрицы идет из левого верхнего в правый нижний угол.

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En, где n ─ порядок матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если при .

Квадратная матрица называется диагональной, если при .

Квадратная матрица называется симметричной, если .

В диагональной матрице отличны от нуля только элементы, стоящие на главной диагонали квадратной матрицы

Нулевая матрица размера есть матрица, все элементы которой равны нулю.

Пример 1.

А, В – диагональные матрицы размерности 33 и 44 соответственно, кроме этого, матрица В – единичная четвертого порядка. О – ноль-матрица размерности 24, С – треугольная матрица. А, В, С – квадратные матрицы. Операции сложения и умножения, определенные на множестве К, естественным образом переносятся на матрицы. Так возникает матричное исчисление – предмет теории матриц.

2. Основные операции над матрицами

Операции над матрицами определяются с помощью операций над их элементами.

1. Две матрицы А и В размера mn равны А=В в том и только в том случае, если для всех i, j.

2. Суммой двух матриц и одинаковой размерности mn называется матрица той же размерности mn, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

.

Пример 2. Найти сумму матриц

3. Произведение матрицы размера mn на число есть матрица того же размера mn, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на это число .

Из определения операций над матрицами вытекают их главные алгебраические свойства, совпадающие со свойствами операций над векторами.

·  Сложение матриц коммутативно: А+В=В+А.

·  Сложение матриц ассоциативно: А+(В+С)=(А+В)+С.

·  А+О=О+А=А.

·  Для матрицы -А=(-1)А: А+(-А)=(-А)+А=О.

·  Умножение на число ассоциативно

·  Умножение на число дистрибутивно относительно сложения чисел: ;

·  Умножение на число дистрибутивно относительно сложения матриц

·  О∙А=О; 1∙А=А.

4. Произведением матрицы размера m k на матрицу размера k n называется матрица размера m n , у которой элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.