Предисловие (стр. 11 )

,

где Р – давление; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – высота столба жидкости.

Переведем температуру в градусы Кельвина:

Молярная масса воздуха

Плотность газа определяется отношением его массы к объему:

.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим плотность:

,

Пример 2. В баллоне объемом 40 литров находится кислород при температуре 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсходованного кислорода. Температура газа в баллоне не изменилась.

Решение. Массу израсходованного кислорода можно определить как разность масс газа до работы с баллоном и после работы с баллоном:

В общем виде изменение массы газа определяется по формуле

Решая последнее уравнение, мы получим Dm < 0. Это говорит о том, что масса газа в баллоне уменьшается. В предложенной задаче мы определяем убыль массы газа, а не изменение массы.

Считая кислород в баллоне идеальным газом, мы можем для описания его состояния использовать основное уравнение газового состояния – уравнение Менделеева – Клапейрона

Это уравнение дает возможность выразить значения масс в начальном и конечном состояниях кислорода:

По условию задачи

Определим убыль массы газа:

Масса израсходованного газа Dm = 0.051 кг.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Какова средняя арифметическая скорость молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?

Решение. Средняя арифметическая скорость <u> молекул определяется по формуле

где m – масса одного киломоля газа.

Выразим числовые значения R и m в системе СИ и подставим в формулу:

Число столкновений молекулы в секунду <z> зависит от средней скорости молекулы<u> и средней длины ее свободного пробега <l> и выражается формулой

Пример 4. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 °С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?

Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарическом нагревании, определяется по формуле

где m – масса нагреваемого газа; ср – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; DT – изменение температуры газа.

Как известно,

,

где i – число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая постоянная; m – масса одного киломоля газа.

Подставив выражение сp в Q, получим

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах системы СИ: m = 200 г =0.2 кг; i = 5, т. к. водород – газ двухатомный.

;

.

Подставим эти значения в формулу Q и произведем вычисление:

Внутренняя энергия газа выражается формулой

Следовательно, изменение внутренней энергии

Подставив сюда числовые значения в системе СИ, получим

Работу расширения газа найдем по формуле, выражающей первое начало термодинамики,

Q = DU + A,

откуда

A = Q – DU.

Подставив значение Q и DU, найдем

Работу, совершаемую газом, можно определить также по формуле

Подставив числовые значения, получим

Пример 5. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру 200 °С. Какова температура охладителя, если за счет каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1680 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитываются.

Решение. Температуру охладителя можно найти, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно,

где Т1 – абсолютная температура нагревателя; Т2 – абсолютная температура охладителя.

Отсюда

Т2 = Т1 (1 – h).

Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение количества теплоты, которое превращено в работу А, к количеству теплоты Q1, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е.

Найдем температуру охладителя

Выразим все величины в системе СИ и вычислим температуру охладителя:

Q1 = 1 ккал = = 4.19×103 Дж;

Т1 = 200 + 273 = 473 К;

.

Пример 6. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от
0 до 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии при нагревании воды и изменение энтропии при превращении воды в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой и .

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты

dQ = mcdT,

где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость.

Запишем формулу для вычисления энтропии при нагревании воды:

Вынеся за знак интеграла постоянные величины и произведя интегрирование, получим

Произведем вычисления в системе СИ:

m = 100 г = 0.1 кг;

Т1=273 К;

Т2=100+273=373 К;

При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура T может быть вынесена за знак интеграла. Вычислив интеграл, получим

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры;

Q = lm,

где l – удельная теплота парообразования.

Таким образом, изменение энтропии

.

Выразим числовые значения величин в системе СИ:

;

m = 0.1 кг;

T = 373 K.

Произведем арифметические действия:

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

Пример 7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 400 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не выше чем на 5 м/с?

Решение. Распределение молекул по относительным скоростям выражается уравнением