Предисловие (стр. 7 )

где V* – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Ее найдем на основании закона сохранения импульса:

. (2)

Подставив в формулу (1) значение V* из уравнения (2), получим ответ на первый вопрос задачи:

. (3)

Так как энергия, расходуемая на ковку изделия, по замыслу задачи является полезной, то КПД процесса ковки

. (4)

Подставив числовые значения заданных величин в формулы (3) и (4) и выполнив вычисление, получим:

Wдеф = 38 Дж, η = 0.95.

Пример 6. Человек стоит в центре скамейки Жуковского и вместе с ней вращается по инерции, делая 0.5 об/с. Момент инерции тела человека относительно оси вращения равен 1.6 кг × м2. В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой по 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1.6 м. Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0.4 м? Моментом инерции скамейки пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири, составляет вместе со скамейкой изолированную механическую систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для нашего случая

, (1)

где J1 и ω1 – момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с вытянутыми руками; J2 и ω2 – момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с опущенными руками.

Отсюда

(2)

Заменив в (2) угловую скорость ее выражением через число оборотов в единицу времени (ω = 2 πν) и сократив на 2 π, получим

(3)

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J0 и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки

Следовательно,

где m – масса каждой из гирь; l1 – первоначальное расстояние между гирями; l2 – конечное расстояние между гирями.

Подставляя выражения J1 и J2 в (3), получим

(4)

Подставляя числовые значения в (4), получим

об/с.

Пример 7. Маховик имеет вид диска массой 50 кг и радиусом 20 см. Он был раскручен до скорости вращения 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент силы трения, считая его постоянным, если маховик до полной остановки сделал 200 оборотов.

Решение. Применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии,

или , (1)

Работа при вращательном движении определяется по формуле

A = Mφ.

Подставив это выражение работы, а также выражение момента инерции диска в (1), получим

Отсюда момент силы трения

. (2)

Угол поворота

φ = 2πN = 1256 рад.

Подставив числовые значения в (2), найдем момент силы трения:

М = – 1 H × м.

Знак «минус» показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 8. Материальная точка массой 5 г совершает колебания с частотой 0.5 с–1. Амплитуда колебаний 3 см.

Определить:

а) скорость точки в момент времени, когда смещение ее равно 1.5 см и положительно;

б) максимальную силу, действующую на точку;

в) полную энергию колеблющейся точки.

Решение. а) Уравнение гармонического колебания имеет вид

x = А sin (ωt + φ), (1)

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А – амплитуда; (ωt + φ) – фаза колебания; ω – круговая частота; t – время; φ – начальная фаза.

Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе – на А2ω2 и сложим

или

Решив последнее уравнение относительно V, найдем

(3)

Подставив в это выражение числовые значения величин в системе СИ, получим

м/с.

Знак «плюс» соответствует случаю, когда точка удаляется от положения равновесия (направления смещения и скорости совпадают), знак «минус» соответствует движению точки к положению равновесия (направления смещения и скорости противоположны).

Скорость гармонического колебательного движения можно определить также из уравнения

x = A cos (ωt +φ). (4)

Взяв вместо (1) уравнение (4) и повторив с ним такое же решение, получим тот же ответ.

б) Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

F = ma, (5)

где а – ускорение точки, которое получим, если возьмем производную по времени от скорости,

или

Подставив выражение для ускорения в (5), будем иметь

Отсюда получим максимальное значение силы

Подставив в это уравнение числовые значения величин в системе СИ, найдем

Н.

в) Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигнет максимального значения. В это время потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Wmах и может быть определена по формуле

(6)

Максимальную скорость можно определить из формулы (2), если принять cos (ωt + φ) = 1:

Vmax = 2πνA.

Подставив это выражение скорости в (6), найдем

Е = 2π2mν2А2.

После подстановки числовых значений получим

Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. Камень, брошенный со скоростью 10 м/с под углом 11° к горизонту, упал на землю на некотором расстоянии от места бросания. С какой высоты надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место? (Ответ: 0.715 м.)

2. При выстреле из пистолета в горизонтальном направлении пуля летела 5 с до первого из двух вертикально закрепленных листов бумаги, расстояние между которыми 3 м. Определить скорость пули, если пробоина во втором листе оказалась на 15 см ниже, чем в первом. (Ответ: 982 м/с.)

3. Через сколько секунд вектор скорости тела, брошенного под углом 39° к горизонту с начальной скоростью 19 м/с, будет составлять с горизонтом угол 17°? (Ответ: 0.759 с.)

4. Определить скорость встречного ветра, если при движении автобуса со скоростью 16 м/с капли дождя, имеющие вертикальную составляющую скорости 22 м/с, образуют на оконном стекле автобуса полосы под углом 43° к вертикали. (Ответ: 4.51 м/с.)

5. На наклонной плоскости с углом наклона 20° лежит тело. Какое наименьшее ускорение необходимо сообщить наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы лежащее на ней тело свободно падало? (Ответ: 27 м/с2.)

6. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар, вагон движется по горизонтальной плоскости с ускорением 6 м/c2. На какой угол отклоняется при этом нить с шаром? Ответ дать в градусах. (Ответ: 31.5°.)

7. Через невесомый блок, укрепленный к потолку, перекинута нить, к концам которой подвешены гири с массами 12 и 8 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, трением в блоке пренебречь. (Ответ: 1.96 м/с2.)

8. При торможении поезда скорость его изменяется от 65 до 28 м/с за время 15 с. При каком предельном значении коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начинает скользить по полке? (Ответ: 0.252.)