Предисловие (стр. 5 )

где – ускорение тела; – сила, действующая на тело; m – масса тела.

12. Закон Гука

= – kx,

где k – коэффициент упругости; х – величина деформации.

13. Сила трения

= m ,

где m – коэффициент трения; N – сила нормального давления, прижимающая тело к плоскости при скольжении.

14. Гравитационная сила

F = G m1 m2 /r2,

где F – сила гравитационного притяжения между двумя точечными массами m1 и m2; r – расстояние между ними; G – гравитационная постоянная.

15. Закон сохранения импульса

= m11 + m22 + .... + mii = const.

16. Скорость движения тел после неупругого, центрального удара

= (m 11+ m 22)/(m 1+m2),

где m1 – масса первого тела; m2 – масса второго тела; 1 – скорость первого тела до удара; 2 – скорость второго тела до удара.

17. Скорости первого и второго тел после упругого соударения:

1=[(m1 – m2) 1 + 2m22] / (m1 + m2),

2=[(m2 – m1) 2 + 2m11] / (m1 + m2),

18. Механическая работа

A = ,

где FS – проекция силы на направление пути; S – величина участка пути.

В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом к перемещению, имеем

A = F× S× cos a ,

где F – модуль вектора силы; S – модуль вектора перемещения; a – угол между векторами силы и перемещения.

19. Мощность

N = dA/dt.

При постоянной мощности

N = A/t = F V cos α,

где А – работа, произведенная какой-либо силой; t – время, за которое произведена эта работа.

20. Кинетическая энергия

Wк = mV2/2,

где m – масса движущегося тела; V – скорость, с которой это тело движется.

21. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести (вблизи поверхности Земли)

Wп = mgh,

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения; h – высота тела над поверхностью Земли.

22. Закон сохранения механической энергии

Wк + Wп = const.

23. Давление в жидкости и газе

P = Fдав/S,

где Fдав – cила давления; S – площадь поверхности.

24. Закон Архимеда

Fa = rж gVпогр,

где rж – плотность жидкости; g – уcкорение свободного падения; Vпогр – объем жидкости, вытесненной погруженной частью тела.

Динамика вращательного движения

25. Момент силы относительно произвольной оси вращения

M = Fl,

где F – сила; l – расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

26. Момент инерции материальной точки относительно произвольной оси вращения

J = mr2,

где m – масса материальной точки; r – расстояние от точки до оси.

27. Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения

J =,

где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Производя интегрирование, можно получить следующие формулы:

момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

J = 1/2 mR2,

где m – масса цилиндра (диска); R – его радиус;

момент инерции тонкостенного полого цилиндра (обруча)

J = mR2;

момент инерции однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр,

J = 2/5 mR2;

момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно его длине l,

J = 1/12 ml2.

28. Теорема Штейнера

J = J0 + md2,

где J0 – момент инерции тела относительно его оси, проходящей через центр масс; m – масса тела; d – расстояние от оси вращения до оси, проходящей через центр масс тела.

29. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

dt = d(J),

где – момент внешних сил, приложенных к телу, момент инерции которого равен J; – угловая скорость вращения тела. Если J = const, то

= J,

где – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием вращающего момента .

30. Кинетическая энергия вращающегося тела

Wk = Jω2/2.

31. Закон сохранения момента количества движения

∑J = const.

32. Теорема о связи работы и кинетической энергии

A =Mφ=( Jω 2)2/2 – (Jω 1)2/2.

Механические колебания и волны

33. Уравнение гармонического колебания

x = A sin (ωt + φ ),

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота; φ – начальная фаза.

34. Циклическая частота

ω = 2πν = 2π/Т,

где ν – частота (количество колебаний в единицу времени); Т – период колебаний (время одного полного колебания).

35. Скорость при гармоническом колебании

V = A ω cos ωt.

36. Ускорение при гармоническом колебании

a = – A ω2 sin ωt.

37. Период колебаний пружинного маятника

Т = 2π ,

где m – масса тела, подвешенного на пружине; k – коэффициент упругости пружины.

38. Период колебаний математического маятника

Т = 2π ,

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

39. Период колебаний физического маятника

Т = 2π,

где L – приведенная длина физического маятника.

40. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

A2 = A1 2 + A2 2 +2 A1 A2 cos (φ1 – φ2);

б) начальная фаза результирующего колебания

φ = arctg (A1 sin φ1 + A2 sin φ2) / (A1 cos φ1 + A2 cos φ2).

41. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (х = A1 cos ωt, у = A2 cos (ωt + φ)):

а) если разность фаз φ = 0,

у = (A2 /A1)х – прямая;

б) если разность фаз φ = π,

у = – (A2 /A1)х, – прямая;

в) если разность фаз φ = π/2,

х2/ A1 2 + у2/ A2 2 = 1 – эллипс.

42. Уравнение затухающего колебания

x = Ae-δt sin (ωt + φ),

где δ – коэффициент затухания. При этом δ = r/2m и ω = , где ω0 – угловая частота собственных колебаний.

43. Добротность колебательной системы

.

где λ = δТ – логарифмический декремент затухания.

Примеры решения задач

Пример 1. Автомобиль движется по шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Закон движения автомобиля определяется уравнением

S =10 + 10t – 0.5t2.

Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени t = 5 c.

Решение. Найдем общее выражение для скорости автомобиля. Известно, что

.

Взяв производную по времени от заданного уравнения пути, получим

.

Значение скорости в данный момент можно найти, если в полученную общую формулу скорости вместо времени подставить заданное значение: