Предисловие (стр. 6 )

м/с.

Найдем общее выражение для тангенциального ускорения. Из теории известно, что

.

Взяв производную по времени от общего уравнения скорости, находим

м/с2.

Значение нормального ускорения найдем, подставив в общее уравнение его известные значения скорости и радиуса кривизны траектории:

м/с2.

Полное ускорение будет геометрической суммой взаимно перпендикулярных тангенциального и нормального ускорений:

м/с2.

Пример 2. Пуля выпущена со скоростью 800 м/с под углом 30° к горизонту. Найти:

а) время полета пули до падения на землю;

б) скорость полета пули в верхней точке ее траектории;

в) дальность полета;

г) наибольшую высоту подъема пули;

д) радиус кривизны траектории в ее верхней точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. а) Скорость пули Vo, направленную под углом к горизонту, разлагаем на две составляющие:

горизонтальную

Vox = Vo cos α = 800 cos 300 = 694 м/с,

вертикальную

Voy= Vo sin α = 800 sin 300 = 400 м/с.

Движение пули можно представить как совокупность двух движений: равномерного, происходящего в горизонтальном направлении по инерции с постоянной скоростью Vox = 694 м/с, и равнопеременного, происходящего в вертикальном направлении под действием силы тяжести со скоростью Vy.

При полете пули вверх скорость ее под влиянием силы тяжести будет постепенно уменьшаться по закону

Vy = Voy – gt.

В верхней точке траектории эта вертикальная скорость будет равна нулю. Следовательно, формула примет вид

0 = Voy – gt.

Отсюда находим время полета пули вверх как

t = Voy / g= 400 / 9.81 = 40.7 c.

Столько же времени будет продолжаться падение пули на поверхность Земли. Следовательно, полная продолжительность полета пули

2t = 2 · 40.7 = 81.4 c.

б) В верхней точке траектории результирующая скорость полета пули равна скорости ее в горизонтальном направлении, так как в этой точке вертикальная скорость равна нулю. Следовательно,

V = Vx = V0x = 694 м/с.

в) В горизонтальном направлении пуля летит с постоянной скоростью

Vx = V0 · cos α = 694 м/с.

За время полета пуля пройдет расстояние

Sx = Vx·2t = 694 · 81.4 = 5.65·104 м.

г) За время подъема, равное 40.7 с, пуля пройдет в вертикальном направлении расстояние

м.

Это расстояние и определяет высоту верхней точки траектории над поверхностью земли.

д) В самой верхней точке траектории ускорение, сообщаемое пуле силой тяжести и направленное вертикально, совпадает по направлению с нормалью к траектории и поэтому является нормальным. Величина его выражается формулой

где R – радиус кривизны траектории в ее верхней точке.

Отсюда

м.

Пример 3. Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0.1. Определить ускорение движения груза.

Решение. На груз действуют: – сила тяжести; – сила нормальной реакции плоскости; – сила тяги и – сила трения.

Запишем для данного тела уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

+ + + = . (1)

Выбрав направления осей X и Y и найдя проекции сил на оси, запишем это уравнение в скалярной форме:

(2)

(3)

Из уравнения (3) находим, что

Тогда .

Подставим это выражение в (2):

,

откуда найдем ускорение груза:

м/с2.

Пример 4. Тело массой m, находящееся на вершине наклонной плоскости, удерживается силой трения. За какое время тело спустится с наклонной плоскости, если плоскость станет двигаться в горизонтальном направлении с ускорением a0 = 1 м/с2. Длина плоскости l =1 м, угол наклона к горизонту a =30°, коэффициент трения между телом и плоскостью m = 0.6.

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью. Пока плоскость покоится, на тело действуют три силы: сила тяжести , сила нормального давления опоры и сила трения покоя, которые уравновешивают друг друга. Как только начнется ускоренное движение плоскости, появится четвертая сила, действующая на тело, – сила инерции

.

Равновесие нарушится, и тело начнет скользить вниз по наклонной плоскости с ускорением . Так как искомое время определяется известной формулой пути равноускоренного движения без начальной скорости

(1)

то надо найти ускорение . Для этого запишем второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета:

+ + + = . (2)

Проектируя все векторы, входящие в уравнение (2), на оси X и Y, получим два скалярных уравнения:

mg sin a – Fтр + ma0 cos a = ma, (3)

–mg cos a + N + ma0 sin a = 0. (4)

Решив систему уравнений (3), (4) с учетом Fтр = mN, найдем ускорение:

а = g (sin a – m cos a ) + a0 (cos a +m sin a).

Сделаем подстановку в формулу (1):

Подставив числовые значения величин, найдем t = 0.8 c.

Пример 5. Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку изделия. Чему равен КПД процесса ковки при данных условиях?

Решение. Обоснуем возможность применения законов сохранения для решения задачи. Система «молот – изделие – наковальня» не является замкнутой: на нее действуют извне сила тяжести (M + m)g и сила давления N опоры, на которой стоит наковальня. Во время удара молота вторая сила, в той или иной степени определяемая упругими свойствами опоры, будет превышать первую силу и к рассматриваемой системе будет приложена извне равнодействующая

R = N – (M + m)g.

Однако силы ударного взаимодействия тел весьма велики. Можно предположить, что по сравнению с этими силами величиной R можно пренебречь и, таким образом, считать систему замкнутой.

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Так как во время удара изменяется только кинетическая энергия тел (незначительным перемещением тел по вертикали за время удара мы пренебрегаем), то энергия деформации

(1)