Предисловие (стр. 12 )

Здесь N – полное число молекул газа; f(u) – функция распределения Максвелла; u = υ/υв, где υ – данная скорость, υв – наиболее вероятная скорость.

Поскольку в задаче речь идет о наиболее вероятной скорости, надо считать υ = υв. Следовательно, u = 1 и уравнение примет более простой вид:

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Δu:

. (1)

Прежде чем производить расчеты по (1), необходимо убедиться в том, что выполняется условие Δu<<u. Так как u = υ/υв, то

Δu = Δυ/υв. (2)

Чтобы вычислить Δu по (2), найдем сначала наиболее вероятную скорость по формуле

Подставив это значение в (2) и имея в виду, что Δ υ=10 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от (υв – 5 м/с) до (υв + 5 м/с), получим Δu = 1/182.

Теперь сделаем подстановку в формулу (1):

Δu=

Пример 8. На какой высоте давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 °С.

Решение. Воспользуемся барометрической формулой

,

где p – давление на высоте слоя газа h; p0 – давление на высоте h = 0; μ – молярная масса газа; T – его абсолютная температура.

Итак, по условию задачи

p = 3p0/4= p0 e–μgh/RT,

откуда

e–μgh/RT = 3/4,

–μgh/RT = ln(3/4),

следовательно,

h = (–RT ln(3/4))/(μg).

Вычислим результат:

h = (–8.31∙273∙ln(3/4))/(0.029∙9.8) = 2296.4 м.

Задачи для самостоятельного решения

1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 1272 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа? (Ответ: 1.432 1023.)

2. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 0.820 м3, равна 0.949 × 105 Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 0.313 × 105 м/с. Найти давление, под которым находится азот. (Ответ: 7.712 104 Па.)

3. Найти среднюю арифметическую скорость молекул газа, плотность которого при давлении 618 мм рт. ст. равна 61.778 г/л. (Ответ: 58.2 м/с.)

4. Найти энергию теплового движения молекул аммиака, находящихся в баллоне объемом 53 л при давлении 44 кПа. (Ответ: 6.996 × 103 Дж.)

5. В баллоне, объем которого 1 л, находится водород при температуре минус 49 °С. Давление водорода 283 кПа. Найти число молекул водорода, скорости которых лежат в интервале от 1.19 км/с до 1.21 км/с. (Ответ: 1.081 × 1021.)

6. Определить температуру газообразного азота, при которой скоростям V1 = 300 м/с и V2 = 2V1 соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла f(V). (Ответ: 328 К.)

7. Определить относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на 0.90 % от наивероятнейшей. (Ответ: 1.494 × 10–2.)

8. Определить среднее значение полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре 511 К. (Ответ: 2.116 × 10–20 Дж.)

9. С помощью распределения Максвелла по скоростям получить соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям и определить наиболее вероятное значение кинетической энергии при температуре 698 К для молекул гелия. (Ответ: 4.816 × 10–21 Дж.)

10. Определить полную энергию молекул воздуха в единице объема, находящихся на высоте 2.50 км над уровнем моря. Температуру воздуха по высоте считать постоянной и равной минус 8 °С. Давление воздуха на уровне моря равно 766 мм рт. ст.( Ответ: 2.083·105 Дж.)

11. Азот, занимавший объем 23 литра под давлением 347 кПа, изотермически расширился до объема 115 литров. Определить работу расширения газа. (Ответ: 1.284 × 104 Дж.)

12. Водород массой 83 г нагрели на 479 К, причем газу была передана теплота 162 кДж. Найти изменение внутренней энергии водорода. (Ответ: 4.130 × 105 Дж.)

13. Вычислить величину отношения удельных теплоемкостей для газовой смеси, состоящей из 3 кмоль кислорода и 2 кмоль углекислого газа. Газы считать идеальными. (Ответ: 1.37.)

14. Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему была сообщена теплота 17 кДж. Какую работу совершил при этом газ? (Ответ:
4.857 × 103 Дж.)

15. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа (азота) при изотермическом расширении его от объема 8 м3 до объема 19 м3 при температуре 361 К. (Ответ: 2,603 × 106 Дж.)

16. В закрытом сосуде объемом 28 л находятся равные массы аргона и азота при нормальных условиях. Какое количество тепла нужно сообщить этой газовой смеси, чтобы нагреть ее на 47 °С? (Ответ: 103 Дж.)

17. Кислород массой 195 г нагревают изобарически, при этом температура газа увеличивается от 76 до 288 °С. Найти изменение энтропии газа. (Ответ: 84.1 Дж/К.)

18. Один киломоль кислорода совершает прямой цикл Карно в интервале температур от 27 до 180 °С. Известно, что отношение максимального за цикл давления к минимальному равно 39. Определить работу, совершаемую газом за цикл. (Ответ: 2.82 ·106 Дж.)

19. В теплоизолированном сосуде находится 107 молей гелия и 82 г льда. В начальный момент температура льда 232 К, гелия – 330 К. Сосуд закрыт подвижным поршнем. Определить изменение энтропии при переходе к равновесию. (Ответ: 24.3 Дж/К.)

20. В двух баллонах, соединенных трубкой с краном, находится 4 кг азота и 8 кг углекислого газа. Определить изменение энтропии системы после открытия крана и установления равновесия. Известно, что температуры и давления газов до смешения были одинаковы.(Ответ: 1.85 ·103 Дж/К.)

Контрольная работа № 2

Студент-заочник должен решить восемь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его зачетной книжки (см. табл. 2).

Таблица 2

Номер варианта	Номер задачи
1	201	211	221	231	241	253	261	271
2	202	212	222	232	242	254	262	272
3	203	213	223	233	243	251	263	273
4	204	215	224	234	244	257	264	274
5	205	214	225	235	245	252	265	275
6	206	216	226	236	246	255	266	276
7	207	217	227	237	247	256	267	277
8	208	218	228	238	248	259	268	278
9	209	219	229	239	249	258	269	279
0	210	220	230	240	250	260	270	280

201. Найти отношение среднеквадратичных скоростей молекул неона и кислорода при одинаковых температурах.

202. Найти число молекул водорода в 1 см3, если давление равно 51 мм рт. ст., а средняя квадратичная скорость его молекул при данных условиях равна 248 м/с.

203. Найти среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при температуре 22 °С.

204. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул азота? Масса пылинки 0.0899 мкг.

205. В сосуде объемом 5 л находится 20 г кислорода под давлением 489 мм рт. ст. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа.

206. В сосуде находится 65 г кислорода. Найти число молекул, находящихся в сосуде.

207. В сосуде объемом 3 л находится 58 г кислорода. Найти плотность газа.

208. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 1226 м/с. Давление газа равно 0.856 × 106 Н/м2. Найти плотность газа при этих условиях.

209. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 1082 мм рт. ст. равна 0.511 мг/см3.

210. Найти массу одного киломоля газа, плотность которого при давлении 1146 мм рт. ст. и температуре 83 °С равна 0.604 мг/см3.

211. Найти кинетическую энергию теплового движения молекул, находящихся в 1 г окиси азота при температуре 258 °С.

212. Чему равна энергия вращательного движения молекул, содержащихся в 1 кг азота при температуре 241 °С?

213. Чему равна энергия теплового движения молекул двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом 18 л и находящегося под давлением 7.8 МН/м2?

214. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота равна 2.5 МДж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 500 м/с. Найти массу азота в баллоне.

215. Двухатомный газ массой 3.373 кг находится под давлением 0.177 МН/м3 и имеет плотность 0.909 кг/м3. Найти энергию теплового движения молекул газа при этих условиях.