Практикум по решению задач на ЭВМ (стр. 8 )

Моделирование. Компьютерные и информационные модели (2 ч.).

Цель: выработка и закрепление практических навыков в освоении методологии компьютерного математического моделирования, практическая реализация межпредметных связей.

Компетентности: понятия модели, математической модели, примеры математических моделей, этапы решения задачи с помощью ЭВМ, последовательность построения математической модели, параметры модели, классификация моделей, метод дискретизации непрерывных процессов, компьютерная и имитационная модель.

Терминологический минимум: модель, детерминированная модель, стохастическая модель, дискретная модель, непрерывная модель, дискретизация непрерывного процесса, имитация,

Вопросы к теме: 1.  Как выглядят математические модели следующих движений: ·  колебаний математического маятника без трения? ·  малых колебаний математического маятника без трения? ·  колебаний математического маятника с трением? ·  вынужденных колебаний математического маятника? ·  параметрически возбуждаемых колебаний математического маятника? 2.  Как качественно влияет наличие трения на вид колебаний? Являются ли соответствующие колебания гармоническими? 3.  В чем заключается процедура Фурье-анализа периодических процессов? 4.  В чем состоит предмет исследований классической экологии? 5.  В чем сущность процессов: ·  внутривидовой конкуренции? ·  межвидовой конкуренции? ·  отношений «хищник-жертва»? 6.  Каковы цели математического моделирования в экологии? 7.  Что такое «случайный процесс»? 8.  Каковы принципы компьютерного генерирования равномерно распределенных случайных чисел? 9.  Как можно получить последовательность случайных чисел с пуассоновским законом распределения? 10.Что такое «система массового обслуживания»? Приведите примеры. 11.В чем заключается метод Монте-Карло вычисления площадей плоских фигур? Объемов тел? 12.Какие примеры случайных процессов Вы можете привести?

Практические задания: Цель моделирования: в каждый момент времени ti мы должны знать положение тела в пространстве или пройденный им путь x=x(t), его скорость v=v(t) и ускорение a=a(t), которые будут являться функциями от времени. В начальный момент времени t0=0, x0=0, v0=0, a0=g Для построения расчетной модели предположим, что в течение малого промежутка времени Δt=τ движение равноускоренно, тогда можно использовать известные законы прямолинейного равноускоренного движения. x=x0+v0τ +aτ2/2v=v0+aτa=const Параметры модели. m - масса шарика r - радиус шарика h - высота падения v0 - начальная скорость g - гравитационная постоянная ρ - плотность среды μ - вязкость среды c - коэффициент лобового сопротивления tau - шаг по времени Начальные условия t0=0 с x0=0 м v0=0 м/с a0=g= 9,8 m = 50 кг r = 0,5 м ρ = 1,29 кг/м3 μ = 0,0182 Нс/м2 c = 0,4 tau = 0,1 с Расчетные формулы t i+1=ti+ tau xi+1=xi+Vi *tau +ai *tau 2/2 Vi+1=Vi+ai *tau ai+1=(m*g - k1*Vi+1 - k2 *Vi+1 2)/m; Процесс вычислений закончен, когда xi=h Задание 1. А) Построить компьютерную модель свободного падения тела с помощью Excel. t0 x0 v0 a0 m 50 r 0,5 h 3000 v0 0 g 9,8 ρ 1,29 μ 0,0182 c 0,4 tau 0,1 k1= k2= 1,371552 12,96192 б) Провести тестирование модели. Тесты могут быть следующие: При к1=к2=0 расчеты должны совпадать с формулами закона равноускоренного движения при a=g При к1=0, к2 = m*g, ускорение быстро становится равным нулю и движение происходит с постоянной скоростью Подобное проверочное тестирование в случае удачи дает основания к уверенной работе с моделью. Задание 2. Построить информационную модель процесса (графики зависимости v(t) и a(t)). Теперь можно проводить эксперименты с моделью. Задание 3. Задача о безопасности парашютиста. Пусть парашютист прыгает с высоты h =3000м. Определить необходимый радиус парашюта, другими словами, нам нужно подобрать коэффициент сопротивления k2, при котором имеем безопасное приземление. Кстати, оценить скорость безопасного приземления можно из следующих соображений. С какой высоты прыжок человека на землю безопасен? С первого этажа даже ребенку не страшно, а со второго надо постараться удачно приземлиться. Значит, можно взять среднюю высоту между первым и вторым этажом, скажем, 3 метра. Тогда при свободном падении тела за время t=v2h/g=0.8 сек величина скорости приземления Vp=g*t=10*0.8=8 (м/сек.). Другими словами, скорость безопасного приземления - 8-10 м/с. Вопрос: При каком радиусе парашюта скорость установления была близка к значению 10 м/с. Постройте график зависимости скорости приземления от радиуса парашюта. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту. Формализованная модель. Тело бросают с высоты h под углом α к горизонту. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту строиться аналогично предыдущей модели, только вектора скорости и ускорения необходимо будет разложить по двум осям и учитывать составляющие вектора скорости v по x и по y (vx и vy ) и вектора ускорения a по x и по y (ax и ay). Сила сопротивления будет направлена обратно движению, сила тяжести - по-прежнему вниз. X: m*ax=-(k1vx+k2vx2 )= - k1vx-k2vx2 Y: m*ay=-(mg-(k1vy+k2vy2)=-mg+k1vy+k2vy2 Параметры модели. h - начальная высота бросания, в частности, v0 - начальная скорость бросания тела; α - угол бросания; m - масса тела; r – радиус тела k1 - коэффициент сопротивления среды; k2 - коэффициент лобового сопротивления; g - ускорение свободного падения; tau - шаг по времени. Начальные условия t0=0 x0=0 y0=h v0x = v0*cos α v0y = v0*sin α a0x = 0 a0y = - g m = 0,1 кг r = 0,1 м ρ = 1,29 кг/м3 μ = 0,0182 Нс/м2 c = 0,4 tau = 0,1 с a = угол в град*3,14/180 Расчетные формулы ti+1=ti+ tau xi+1=xi+vix * tau +aix *tau 2/2 yi+1=yi+viy * tau +aiy *tau 2/2 vi+1x = vix+aix *tau vi+1y = viy+aiy*tau ai+1x = (- k1*vix - k2* vix2)/m ai+1y = (-m*g + k1*viy + k2*viy2)/m Процесс вычислений закончен, когда y=0 Задание 4. а) Построить компьютерную модель в Excel (с помощью диаграммы отобразить траекторию полета тела) t x y vx vy ax ay tay 0,1 h 0 alpha (град) 45 alpha (рад) 0,785 m 2 r 0,5 g 9,8 v0 10 k1= 0,171444 k2= 0,20253 б). Провести тестирование модели. Тесты могут быть следующие: Свободное падение с высоты h: h>0; A=-90; v0=0; k=0; g=9,8 м/с Бросание тела вверх с начальной скоростью v0: h=0; A=90; v0>0; k1=k2; g=9,8 м/с Движение под углом к горизонту без сопротивления: h=0; A=45; v0>0; k1=k2=0; g=9,8 м/с. Задание 5. Построить информационную модель процесса в Excel. Графики зависимостей: дальности полета от угла бросания высоты максимального подъема от угла бросания дальности полета от начальной скорости шарика высоты максимального подъема от начальной скорости шарика. Задача: Рассмотрим процесс нагревания деревянного стержня (а=0,1) длиной 0,1 м, на концах которого поддерживается температура 100 0С. Нужно рассчитать изменение температуры в стержне со временем. Параметры модели L - длина стержня a – коэффициент теплопроводности h – шаг по пространству u i0 = φ(x) –Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени Краевые условия указывают, какая температура поддерживается на концах стержня u 0j = Ψ1(t0) – температура на левой границе стержня u nj = Ψ2(t0) - температура на правой границе стержня Начальные условия L = 0.1 м h = 0.01м a = 0,1 t0 =0 с u i0 = u (xi,0)= 5 0C u 0j = u nj = 100 0C или u(x0,tj)=u(xn, tj) =100 0C Расчетные формулы   tj+1= tj+τ Условие окончания расчетов: установление температуры в стержне (температура точек стержня перестает повышаться) Цель моделирования: определить T – время, за которое стержень нагревается до максимально возможной температуры Информационная модель: графики зависимости времени нагревания от коэффициента теплопроводности (t(a)), от длины стержня (t(L)). Задание 1. А) Построить компьютерную модель процесса нагревания однородного стержня с помощью Excel. Б) Определить время нагревания деревянного стержня, длиной 0,1м на концах которого поддерживается температура 100 0С до 99 0С. Теплопроводность в однородном стержне L 0,1 Координаты точек стержня (х) h 0,01 Время (т) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 a 0,1 0-й слой tau 1-й слой u i0 5 … u 0j = u nj = 100 Задание 2. Построить информационную модель процесса А) График зависимости времени нагревания от коэффициента теплопроводности t(a) a T Воздух 0,034 Дерево 0,1 Асбест 0,4 бетон 0,7 лед 2,23 сталь 47 алюминий 209 медь 384 Б) График зависимости времени нагревания от длины стержня t(L).

Материал для самостоятельной работы Найти решение задачи о планировании производства с помощью надстройки «Принятие решения». Вариант 1. Задача о выпуске мебели Небольшая иностранная фирма производит два видв продукции: столы и стулья. Для изготовления одного стула требуется 3 фута древесины, а для изготовления одного стола - 7 футов. Наизготовление одного стула уходит 2 часа рабочего времени, а на изготовление стола - 8 часов. Фирма должна выполнять план по ассортименту (то есть производить и стулья и столы, хотя бы по 1 шт.). Каждый стул приносит 1 доллар прибыли, а каждый стол 3 доллара. Сколько стульев и столов должна изготовить фирма, если она располагает 420 футами древесины и 400 часами рабочего времени и хочет получить максимальную прибыль. Вариант 2. Задача о выпуске трансформаторов Цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор 1-го вида расходуется 3 кг. проволоки и 5 кг. железа, а на один трансформатор 2-го вида - 3 кг. железа и 2 кг проволоки. От реализации одного трансформатора 1-го вида цех получает прибыль в 1,2 рубля, а от реализации одного трансформатора 2-го вида - 1 рубль. Цех должен выполнять план по ассортименту (то есть производить трансформаторы 2х видов, хотя бы по 1 шт.) Сколько трансформаторов каждого вида должен выпускать цех, чтобы получить наибольшую сумму прибыли, если цех имеет 480 кг железа и 300 кг проволоки.

КИМ для самоконтроля: Тестовые задания Выберите вариант ответа, наиболее полным образом завершающего утверждение. 1.  Какое высказывание наиболее точно определяет понятие «модель»? 1. точная копия оригинала; 2. оригинал в миниатюре; 3. образ оригинала с наиболее присущими ему свойствами; 4. начальный замысел будущего объекта. 2.  Компьютерное моделирование - это 1. процесс построения модели компьютерными средствами; 2. процесс исследования объекта с помощью его компьютерной модели; 3. построение модели на экране компьютера; 4. решение конкретной задачи с помощью компьютера. 3.  Вербальной моделью является 1. модель автомобиля; 2. сборник правил дорожного движения; 3. формула закона всемирного тяготения; 4. номенклатура списка товаров на складе. 4.  Математической моделью является 1. модель автомобиля; 2 сборник правил дорожного движения; 3. формула закона всемирного тяготения; 4. номенклатура списка товаров на складе. 5.  Информационной моделью является 1. модель автомобиля; 2. сборник правил дорожного движения; 3. формула закона всемирного тяготения; 4. номенклатура списка товаров на складе. 6.  К детерминированным моделям относится 1. модель случайного блуждания частицы; 2. модель формирования очереди; 3. модель свободного падения тела в среде с сопротивлением; 4. модель игры «орел-решка». 7.  К стохастическим моделям относится 1. модель движения тела, брошенного под углом к горизонту; 2. модель броуновского движения; 3. модель таяния кусочка льда в стакане; 4. модель обтекания газом крыла самолета. 8.  Последовательность этапов моделирования 1. цель, объект, модель, метод, алгоритм, программа, эксперимент, анализ, уточнение; 2. цель, модель, объект, алгоритм, программа, эксперимент, уточнение выбора объекта; 3. объект, цель, модель, эксперимент, программа, анализ, тестирование; 4. объект, модель, цель, алгоритм, метод, программа, эксперимент. 9.  Индуктивное моделирование 1. гипотетическое описание модели; 2. решение задачи методом индукции; 3. решение задачи дедуктивным методом; 4. построение модели как частного случая глобальных законов природы. 10.  Дедуктивное моделирование 1. гипотетическое описание модели; 2. решение задачи методом индукции; 3. решение задачи дедуктивным методом; 4. построение модели как частного случая глобальных законов природы. 11.  Компьютерный эксперимент - это 1. решение задачи на компьютере; 2. исследование модели с помощью компьютерной программы; 3. подключение компьютера для обработки физических экспериментов; 4. автоматизированное управление физическим экспериментом. Правильные ответы № 1 2 3 4 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X

Основная учебная литература по теме 1.  Информатика. Учебное пособие. Под редакцией Симоновича, С-Пб., 2000. 2.  , Практикум по компьютерной технологии. М., АБФ, 1998. 3.  Могилев А. В., , Информатика. Под редакцией Хеннера, М., Академия, 2000. 4.  , , Практикум по информатике. М., Академия 2000. 5.  , и др. Информатика: Задачник-практикум. – М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. – Т. 1, 2. 6.  и др. Специальная информатика: Учебное пособие. – М.: АСТ-ПРЕСС: Инфорком-Пресс, 1999. 7.  Информатика и информационные технологии. Уч. Пособие для 10-11 классов. Углубленный курс. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 440 с.: ил. 8.  Информатика и информационные технологии. – М.: Лаборатория базовых знаний: АО «Московские учебники», 2002.

Практическое занятие №14, 15, 16