Контрольные задания по модулю «Теория вероятностей» к курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов факультета бизнеса (стр. 4 )

Задача 5. Вероятность того, что автоматическая касса в автобусе срабатывает при опускании монеты, равна 0,95. Определите отклонение частости числа случаев, когда автомат срабатывает, от вероятности при 1000 опусканий монеты, если результат необходимо гарантировать с вероятностью не менее 0,9. Определите также границы, в которых должно находиться число случаев т правильной работы кассы.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 13

Задача 1. Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты, по крайней мере, в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

Задача 2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый ин­декс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?

Задача 3. На фирме работает 500 сотрудников. Какова вероятность того, что 1 января является днем рождения одновременно для k сотрудников фирмы? Вычислить указанную вероятность для значений к = 0, 1,2,3.

Задача 4. Для Х~N(32; 72) найдите два значения х1 и х2 симметричные относительно а=32 с Р (x1<Х< х2)=0,99.

Задача 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 900 испытаний равна 0,7. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что событие состоится число раз, заключенное между 600 и 660.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 14

Задача 1. Секрет увеличения доли определенного товара на рынке со­стоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение новых потребителей товара называется brand loyalty (приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара), и это одна из наиболее ответственных областей рыночных исследований. Производители нового сорта товара знают, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт, и создание brand loyalty потребует, по крайней мере, шести месяцев, равна 0,02. Произво­дитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Предположим, что потребитель только что изменил марку товара. Какова вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение шести месяцев?

Задача 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые посту­пают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая, с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом? Вторым автоматом?

Задача 3. На абонементное обслуживание поставлено 5 телевизоров. Известно, что математическое ожидание числа отказов в работе в год для пяти телевизоров равно единице. Если телевизоры имеют одинаковую вероятность безотказной работы, то какова вероятность, что за год потребуется хотя бы один ремонт?

Задача 4. Пусть X – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=102 и стандартным отклонением σ=10. Найдите х такое, что P(97<X<х)=0,5.

Задача 5. Вероятности наступления или ненаступления некоторого события одинаковы в каждом испытании. Предполагается произвести 10000 испытаний. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что при этом число наступления события отклонится от наиболее вероятного значения не более чем на 100.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 15

Задача 1. Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В, равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

Задача 2. Среди студентов института по результатам зимней сессии 30% первокурсников имеют только отличные оценки, среди второкурсников таких студентов 35%, на третьем и четвертом курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором – 30%, на третьем – 35%, на четвертом – 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) – третьекурсник.

Задача 3. Предположим, что среднее число посетителей, прибывающих в банк в течение 30 минут, равно 5. Банку необходимо знать вероятность того, что 4 посетителя прибудут в банк в течение 30 минут.

Задача 4. Пьер работает в пункте по обмену валюты в офисе аэропорта Орли в Париже. Его пункт открыт ночью, когда банк аэропорта закрыт, и он делает в основном свой бизнес на туристах, возвращающихся в Америку, которые хотят обменять франки на доллары. Из опыта Пьер знает, что потребность в долларах в любую ночь в течение сезона приблизительно подчиняется нормальному закону распределения со средней $25000 и средним квадратическим отклонением, равным $5000. Если Пьер сохраняет много наличности, то он должен платить штраф (процент за наличность). Если денег не хватает, то он должен посылать человека в круглосуточно работающее отделение банка за получением наличности, а это тоже стоит денег. Пьер хотел бы иметь в течение ночи такую сумму денег, чтобы с уверенностью 85% покрывать требующуюся на ночь сумму валюты. Помогите Пьеру определить требуемую сумму долларов.

Задача 5. Оцените вероятность того, что при 1000 подбрасываниях монеты герб появится от 400 до 600 раз?

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 16

Задача 1. Какова вероятность того, что последняя цифра наугад набранного телефонного номера окажется равной или кратной 3?

Задача 2. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?

Задача 3. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 карты) валет или даму, выигрывает 15 очков; тот, кто вытащит короля или козырного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. Если Вы решили участвовать в этой игре, определите сумму очков среднего ожидаемого выигрыша.

Задача 4. Доля протеина в пакете с сухим кормом для собак – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х1,%, но не более х2, %.

Задача 5. Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, оцените с помощью теоремы Бернулли вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет от 465 до 535.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 17

Задача 1. Автомат производит детали, используемые в компьютерах. В любой момент времени автомат может быть в одном из трех состояний: работает с включенным блоком автоматического контроля; работает без контроля и выключен. Инженер по контролю качества из опыта знает, что вероятность того, что блок контроля отключится в любой момент времени, равна 0,02, а вероятность того, что автомат полностью выключится, равна 0,015.

1.  Каковы взаимоотношения между событиями «автомат без контроля» и «автомат выключен»?

2.  Когда в автомате отключается блок контроля, либо он полностью останавливается, вызывается механик ремонтной службы. Чему равна вероятность того, что в настоящий момент должен быть вызван механик?

Задача 2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполнял мужчина?

Задача 3. На торговой базе для продажи приготовлена партия из 10 моторов стоимостью в 100 условных денежных единиц каждый. Если покупатель в приобретенной партии обнаружит хотя бы один неисправный мотор, то ему возвращается его двойная стоимость. Найти ожидаемую чистую прибыль для продавца, если вероятность дефекта для любого мотора равна 0,08.