Контрольные задания по модулю «Теория вероятностей» к курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов факультета бизнеса (стр. 6 )

Задача 3. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,10	0,20	0,35	0,20	0,10	0,05

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Найти функцию распределения.

в) Определить вероятность того, что более 20% людей от­кликнутся на рекламу.

Задача 4. Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 ч. Клиент, прождал до 14 ч, отлучился на 1 ч. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

Задача 5. В результате анализа торговой деятельности некоторого предприятия установлено, что среднемесячные издержки обращения составляют 500 усл. ден. ед. Оцените вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 480-520 денежных единиц. Известно, что дисперсия издержек равна 25 ден. ед.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 23

Задача 1 . Из группы студентов, в которой 18 юношей и 12 девушек, в совет факультета избираются два человека. Какова вероятность того, что среди избранных окажется хотя бы один юноша?

Задача 2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,9 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

Задача 3. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4 (включая 2 и 4).

б) Составить функцию распределения числа автомобилей, продаваемых ежедневно.

Задача 4. Предположим, Вы остановились на шоссе из-за того, что у Вашей машины перегорела обмотка генератора и ее нужно взять на буксир при помощи троса, которого у Вас нет. Каждый из проезжающих останавливается и предлагает Вам помощь. Однако если и у них нет такого троса, то помочь они не могут. Только у 10% автомобилистов есть трос. Сколько автомобилей в среднем остановятся и не смогут оказать Вам помощь?

Задача 5. Вероятность появления события А в одном опыте P=0,4. Можно ли с вероятностью, большей 0,99, утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 24

Задача 1. Вероятность того, что выпуск продукции возрастет, если процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение опре­деленного периода, равна 0,72. Вероятность того, что процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение того же периода, равна 0,25. Чему равна вероятность того, что за интересующий нас период процентные ставки упадут, а выпуск продукции увеличится?

Задача 2. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. По оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

Задача 3. Бросаются 2 игральные кости. Пусть X – сумма выпавших очков на верхних гранях этих костей.

а) Составить закон распределения X.

б) Чему равна наиболее вероятная сумма выпавших очков?

Задача 4. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более чем на 0,07.

Задача 5. На станке изготавливается некоторая деталь. Оказывается, что ее длина X представляет собой случайную величину. При измерении в трех случаях длина оказалась равной 20,1 см, в двух случаях – 19,8 см, в одном случае длина оказалась равной 20,5см, а в четырех случаях – 19,9см. Найдите нижний предел вероятности того, что длина детали будет заключена между 19,5 и 20,5 см.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 25

Задача 1. Аудиторская фирма размешает рекламу в журнале «Коммерсант». По оценкам фирмы, 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помешенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?

Задача 2. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

Задача 3. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина х, за­данная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,1	0,2	0,4	0,1	0,1	0,1

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Найти функцию распределения.

в) Используя функцию распределения, найдите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4);

г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет до­полнительные расходы в заданный день?

д) Предположим, что числа судов, прибывающих в различ­ные дни, есть независимые друг от друга случайные величины. Чему равна вероятность того, что ни один из этих судов не прибудет в течение 5 рабочих дней?

е) Вновь предполагая независимость приходов под погрузку в различные дни, вычислить вероятность того, что порт поне­сет дополнительные расходы в течение двух дней подряд.

Задача 4. Найдите следующие вероятности для нормального стандартного распределения:

а) Р(-1,5<Z<1,5);

б)P(-2,58<Z<2,58).

Задача 5. Дисперсия случайной величины X равна 2,5. По результатам 200 независимых опытов вычислена средняя арифметическая X, которой заменили неизвестное значение М(Х)=а. Каково наименьшее значение вероятности того, что эта замена приведет к ошибке менее чем 0,16?

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 26

Задача 1. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к ве­сеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов?

Задача 2. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от по­литического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной; равной 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны; 0,6; 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?