Контрольные задания по модулю «Теория вероятностей» к курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов факультета бизнеса (стр. 8 )

Оцените вероятность того, что средняя арифметическая полученных значений отклонится от средней арифметической математических ожиданий этих случайных переменных не более, чем на 2,5.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 30

Задача 1. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью 0,94 верит, что респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что этот же человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.

Задача 2. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

Задача 3. Число телефонных звонков, поступающих в справочное бюро от абонентов между полуднем и часом дня в любой день недели, есть случайная величина X, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,3	0,2	0,2	0,1	0,1	0,1

Найти ожидаемое среднее значение случайной величины. Найдите также дисперсию и стандартное отклонение.

Задача 4. На перекрестке дорог движение регулируется автоматическим светофором, включающим зеленый свет через каждые 2 мин. Время простоя автомобиля у этого светофора, проехавшего на красный свет, есть случайная величина, распределенная равномерное с плотностью на участке 0; 2 мин. Найдите среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

Задача 5. Известно, что на некотором заводе в среднем 75% продукции первого сорта, С вероятностью не менее 0,95 определите границы, в которых должна находиться относительная частота первосортной продукции в партии из 10000 единиц.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 31

Задача 1. Иностранная фирма, производящая автомобили, интересуется российским рынком. Для изучения вкуса потенциальных покупателей производится опрос, в котором выясняют наиболее желательные свойства автомобиля. Предположим, что результаты опроса показали: 35% потенциальных покупателей в основном оценивают автомобиль по его техническим характеристикам; 50% – по его дизайну; 25% считают одинаково важным и то и другое. Из группы потенциальных покупателей случайно выбраны трое. Чему равна вероятность того, что все трое полагают наиболее важными при покупке автомобиля его высокие технические характеристики? Чему равна вероятность того, что хотя бы один из них считает технические характеристики наиболее важными? Объясните свои расчеты. Предполагается, что выбор одного покупателя не слишком заметно уменьшит вероятность (в данном случае частоту т/п=0,35).

Задача 2. Перед тем как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто проверяют его на выборке потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для некоторого товара известно, что проверка укажет на возможный его успех на рынке с вероятностью 0,75, если товар действительно удачный; проверка может также показать возможность успеха товара в случае, если он неудачен, с вероятностью 0,15. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с ве­роятностью 0,6. Если новый товар прошел выборочную про­верку, и ее результаты указали на возможность успеха, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

Задача 3. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:

xi	0	1	2	3	4	5	6
P(X)=pi	0,01	0,09	0,30	0,20	0,20	0,10	0,10

Найти ожидаемое значение случайной величины X.

Задача 4. Измеряется температура термометром с ценой деления в 1° С. Отсчет производится с абсолютной погрешностью до одного градуса. Величина ошибки измерения X есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью в диапазоне (–0,5°; +0,5°). Найдите среднюю ошибку измерения, а также стандартное отклонение.

Задача 5. Вероятность того, что автоматическая касса в автобусе срабатывает при опускании монеты, равна 0,97. Определите отклонение частости числа случаев, когда автомат срабатывает, от вероятности при 1000 опусканий монеты, если результат необходимо гарантировать с вероятностью не менее 0,95. Определите также границы, в которых должно находиться число случаев т правильной работы кассы.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 32

Задача 1. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе, и один идет перед другим, то первый из них будет учтен 0,98, второй – с вероятностью 0,94, оба – с вероятностью 0,93.чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайней мере одного из двух входящих вместе покупателей?

Задача 2. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Исследователь приходит по выбранному адресу и попадает в трехквартирный дом. По надписям на почтовых ящиках он выясняет, что в первой квартире живут двое мужчин, во второй – супружеская пара, в третьей – двое женщин. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь, и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы исследователь позвонил в дверь квартиры, где живут двое мужчин, то к двери мог подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он по­звонил в дверь супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.

Задача 3. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,10	0,20	0,35	0,20	0,10	0,05

Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу. Чему равны дисперсия и среднее квадратическое отклонение?

Задача 4. Очень наблюдательный вор, занимающийся кражей предметов искусства, который, вероятно, знает хорошо статистику, заметил, что частота, с которой охранники обходят музей, равномерно распределена между 15 и 60 мин-1. Следовательно, если X обозначает время до появления охраны (в минутах), то дифференциальная функция для X имеет вид

а) Постройте графики W(x:) и F(x).

б) Найдите вероятность того, что охранник появится в течение 35 мин после появления вора.

в) Найдите вероятность того, что охрана не появится в течение 30 мин.

г) Найдите вероятность того, что охрана появится между 35 и 45 мин после прихода вора.

Задача 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 1000 испытаний равна 0,75. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что событие состоится число раз, заключенное между 600 и 660.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 33

Задача 1. Телефонная компания организует рекламу спутниковой связи. Один из рекламных роликов компании представляет собой сюжет, в котором бизнесмен звонит в город Урюпинск, а попадает на острова Фиджи, откуда ему отвечает на полинезийском диалекте абориген, лежащий на пляже. Конечно, это выдуманный сюжет, но подобные ситуации зачастую возникают. Предположим, что в среднем в одном из 200 наборов номера абонентом спутниковой связи происходит ошибочное соединение. Чему равна вероятность хотя бы одного ошибочного соединения при 5 междугородных звонках по спутниковой связи? Предполагается, что все пять наборов номеров независимы.

Задача 2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый ин­декс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?