Контрольные задания по модулю «Теория вероятностей» к курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов факультета бизнеса (стр. 9 )

Задача 3. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемы» машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

Для ряда распределения рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 4. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 48 усл. ден. ед., и стандартным отклонением, равным 6. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была более 60 усл. ден. ед.? Ниже 60 ед. за акцию? Выше 40 ед. за акцию? Между 40 и 50 ед. за акцию?

Задача 5. Вероятности наступления или ненаступления некоторого события одинаковы в каждом испытании. Предполагается произвести 5000 испытаний. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что при этом число наступления события отклонится от наиболее вероятного значения не более чем на 200.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 34

Задача 1. Секрет увеличения доли определенного товара на рынке со­стоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение новых потребителей товара называется brand loyalty (приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара), и это одна из наиболее ответственных областей рыночных исследований. Производители нового сорта товара знают, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт, и создание brand loyalty потребует, по крайней мере, шести месяцев, равна 0,02. Произво­дитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Предположим, что потребитель только что изменил марку товара. Какова вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение шести месяцев?

Задача 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая, с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом? Вторым автоматом?

Задача 3. Бросаются 2 игральные кости. Пусть X – сумма выпавших очков на верхних гранях этих костей. По ряду распределения вычислить среднюю ожидаемую сумму выпавших очков, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 4. Найдите нормально распределенную случайную величинус математическим ожиданием -34.5 и дисперсией 9, отсекающую площадь 0,575 (справа).

Задача 5. Оцените вероятность, что при 100 подбрасываниях монеты герб появится от 450 до 550 раз?

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 35

Задача 1. Вероятность того, что судоходная компания получит разрешение для захода в определенный порт назначения, зависит от того, будет принят или нет необходимый для этого закон. Компания оценивает, что вероятность того, что произойдут оба события (принят соответствующий закон и получено разрешение на посещение порта), равна 0,5, а вероятность того, что необходимый закон будет принят, равна 0,75. Предположим, что компания получила сведения, что закон принят. Чему равна вероятность того, что разрешение на заход в порт назначения будет получено?

Задача 2. Среди студентов института по результатам зимней сессии 30% первокурсников имеют только отличные оценки, среди второкурсников таких студентов 35%, на третьем и четвертом курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором – 30%, на третьем – 35%, на четвертом – 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) – третьекурсник.

Задача 3. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина х, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,1	0,2	0,4	0,1	0,1	0,1

Определить, чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее.

Задача 4. Если х~N(615; 152), то найдите такое значение х, при котором Р(X<х)=0,84.

Задача 5. Принимая вероятность рождения девочки 0,52, оцените с помощью теоремы Бернулли вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет от 450 до 550.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 36

Задача 1. Какова вероятность того, что последняя цифра наугад набранного телефонного номера окажется равной или кратной 3?

Задача 2. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?

Задача 3. Число яхт, сходящих со стапелей маленькой верфи – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
P(X)=pi	0,20	0,20	0,30	0,10	0,10	0,05	0,05

Подсчитать ожидаемое среднее число построенных яхт, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 4. Для Х~N(50; 62) найдите два значения х1 и х2 симметричные относительно а=50 с Р (x1<Х< х2)=0,9.

Задача 5. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,85. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 300 и 360.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 37

Задача 1. Алмазы, возможно, вскоре станут использоваться в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо - и радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны соответственно 0,9; 0,9 и 0,95. Предполагается, что обсуждение проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными выше свойствами. Должен ли обсуждаться проект?

Задача 2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполнял мужчина?

Задача 3. Средний годовой возврат (процент доходности) некоторой акции составляет 8,3%. Дисперсия этого возврата равна 2,3. Для другого типа акций средняя доходность составляет 8,4% в год, а дисперсия равна 6,4. Покупка какой из акций более рисковая? Почему?

Задача 4. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60т. Найдите вероятность того что, по крайней мере, 800 т будут добыты в заданный день. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля? Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля упадет ниже 665 т.

Задача 5. Вероятность появлений события при каждом испытании равна 0,75. Производится 1000 независимых испытаний. Оцените вероятность того, что в этих условиях отклонений частости вероятности будет меньше, чем 0,03.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 38

Задача 1. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает 10 человек из всего населения. Чему равна вероятность того что, по крайней мере, один человек из них может квалифицированно оценить продукт?