Контрольные задания по модулю «Теория вероятностей» к курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов факультета бизнеса (стр. 7 )

Задача 3. Число яхт, сходящих со стапелей маленькой верфи – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
P(X)=pi	0,20	0,20	0,30	0,10	0,10	0,05	0,05

а) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться в пределах между 4 и 7 (включая оба значения)?

б) Найти функцию распределения.

в) Используя функцию распределения, оценить вероятность того, что число яхт, построенных в течение месяца, будет не более 6.

г) Вычислить вероятность того, что число яхт будет более 3, но не более 6.

Задача 4. Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайно выбранного грейпфрута.

Задача 5. Для определения средней урожайности на площади 100000 га взято в выборку по одному гектару от каждого участка размером 100 га. Определите вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от действительной средней по всей площади не более чем на 0,75 ц, если дисперсия урожайности на отдельных участках (по 100 га) не превышает 2,5 ц.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 27

Задача 1. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15. Вероятность, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Задача 2. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он оценивает вероятность более высокой конкурентной способности нового товара по сравнению с аналогичными в 0,5; одинаковой – в 0,3, а вероятность того, что новый товар окажется хуже по качеству, – в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар более высокого качества и конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения таких опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как другие аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно конкурентоспособный?

Задача 3. Число дефектов в продукции, производимой автоматом, случайная величина X, заданная рядом распределения:

xi	0	1	2	3	4
P(X)=pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

а) Найти Р(1<Х<3).

б) Определить Р(1<Х<4).

в) Построить функцию распределения.

Задача 4. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих – заказов нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ=560 и неизвестным математическим ожиданием а. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Задача 5. Определите с вероятностью (надежностью) не менее 0,95, какою может быть максимальное отклонение выборочной средней урожайности от средней урожайности по всей площади, составляющей 10000 га, если с каждого участка размером 200 га в выборку было взято по одному гектару, а максимальная дисперсия на отдельных участках не превышает 2,5 ц.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 28

Задача 1. Вероятность того, что выпускник финансового факультета защитит диплом на «отлично», равна 0,6. Вероятность того, что он защитит диплом «на отлично» и получит приглашение на работу в банк, равна 0,4. Предположим, что студент защитил диплом. Чему равна вероятность того, что он получит приглашение на работу в банк?

Задача 2. Медицинский тест на возможность вирусного заболевания дает следующие результаты:

1.  Если проверяемый болен, то тест даст положительный результат с вероятностью 0,92.

2.  Если проверяемый не болен, то тест может дать положительный результат с вероятностью 0,04.

Поскольку заболевание редкое, то ему подвержено только 0,1% населения. Предположим, что некоторому случайно выбранному человеку сделан анализ и получен положительный результат. Чему равна вероятность того, что человек действительно болен?

Задача 3. Журнал «Деньги» в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок, полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:

xi	9	10	11	12	13	14	15
P(X)=pi	0,05	0,15	0,30	0,20	0,15	0,10	0,05

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять, по крайней мере, 12%.

в) Построить функцию распределения.

Задача 4. Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистую массу больше 4,9 т и 25% – имеют массу меньшую, чем 4,2 т. Найдите среднее и среднее квадратическое отклонение чистой массы контейнера.

Задача 5. Партия деталей размещена в 250 ящиках. Для определения средней массы детали в партии было взято по одной детали из каждого ящика. При условии, что дисперсия по каждому ящику не превышает 6,25 кг, определите максимальное отклонение средней массы детали в выборке от средней массы ее во всей партии. Результат необходимо гарантировать с вероятностью не менее 0,95.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 29

Задача 1. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будет заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, определите, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок?

Задача 2. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может оши­бочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?

Задача 3. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Аудитор случайно отбирает 3 входящих документа.

а) Найти закон распределения случайной величины X –
числа ошибок, выявленных аудитором.

б) Построить функцию распределения и ее график (вероятност­ную гистограмму).

в) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку.

Задача 4. Владелец антикварного аукциона полагает, что предложения цены за определенную картину будут равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. руб.

а) Найдите дифференциальную функцию;

б) Определите вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую, чем 675 тыс.;

в) Найдите вероятность того, что цена картины будет выше 1 млн. руб.

Задача 5. Даны 3 случайные величины:

x	0	10	20
pi	1/4	1/2	1/4
y	-20	0	40
pi	1/4	1/2	1/4
z	-10	0	20
pi	0,2	0,4	0,3

1000 раз берутся наудачу значения X, 2000 раз берутся наудачу значения Y, 3000 раз берутся наудачу значения Z.