Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 10 )

Пример 7. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем a неизвестно:

Требуется:

1. Найти коэффициент a.

2. Найти вероятность попадания X в промежуток (1; 2).

Решение. 1. Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 3], то по формуле , откуда

или , следовательно, .

Таким образом, плотность распределения имеет вид:

2. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1; 2) найдем по формуле (2.33), учитывая, что на промежутке (1; 2):

Ответ. , .

Пример 8. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8, s = 3. Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).

Решение. Воспользуемся формулой: .

Так как a = 12,5, b = 14, a = 8, s = 3, имеем .

Тогда P(12,5 < x < 14) = Ф(2) – Ф(1,5) = 0,4772 – 0,4332 = 0,0440.

Ответ. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14), равна 0,0440.

Примерный вариант практического задания.

1. В начале месяца в аудиторию повесили два новых светильника. Вероятность того, что светильник не выйдет из строя в течение месяца, равна 0,84. Найти вероятность того, что к концу месяца выйдут из строя: а) оба светильника; б) только один светильник; в) хотя бы один светильник; г) ни одного светильника.

2. В магазин поступил одноимённый товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия поступило 200 единиц, из них 50 - первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?

3. Вероятность получения положительного результата в каждом из 2100 опытов равна 0,7. Найти вероятность того, что положительный результат дадут: а) 1500; б) не более 1460 опытов.

4. При анализе прибыли малых предприятий условно принято подразделение их на группы: Доля таких групп предприятий в результате исследования определяется рi.

Требуется:

а) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины;

б) определить среднюю величину дохода предприятия исследуемого типа и оценить разброс величины дохода для всех исследованных предприятий;

в) построить график этого закона распределения вероятностей;

г) применяя модель случайной величины, распределённой нормально, оценить степень её приближения к реальным показателям величины доходов.

xi	0	1	2	3	4	5	6
рi	0,20	0,31	0,24	0,13	0,07	0,04	0,01

II семестр

Примеры решения задач.

Пример 1. Получено распределение заводов по основным фондам X (ден. ед.) и по стоимости готовой продукции Y (ден. ед.), помещённое в корреляционную табл.1.Предполагая, что между признаками X и Y существует линейная корреляционная зависимость, требуется:

1) вычислить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между рассматриваемыми признаками;

2) составить уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики.

Таблица 3.1

	X
Y	10	20	30	40	50	60	ny
15	5	7	-	-	-	-	12
25	-	20	23	-	-	-	43
35	-	-	30	47	2	-	79
45	-	-	10	11	20	6	47
55	-	-	-	9	7	3	19
nx	5	27	63	67	29	9	n = 200

Решение. 1) Если обе линии регрессии Y на X и X на Y - прямые, то корреляция является линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

и выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y: где - условные средние признаков Y и X, - выборочные средние признаков Y и X, - выборочные средние квадратические отклонения; rВ - выборочный коэффициент корреляции.

2) У нас данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами (выборка большая n = 200). В этом случае для упрощения вычислений перейдём к условным вариантам (вместо X введём u, а вместо Y - v), вычисляя их по следующим формулам:

где C1 — варианта признака X, имеющая наибольшую частоту;

C2 — варианта признака Y, имеющая наибольшую частоту;

h1 — шаг (разность между двумя соседними вариантами X);

h2 — шаг (разность между двумя соседними вариантами Y).

Тогда выборочный коэффициент корреляции с использованием условных вариант будет:

Здесь - выборочное среднее значение условной варианты u;

- выборочное среднее значение условной варианты v;

- выборочное среднее квадратическое отклонение варианты u;

- выборочное среднее квадратическое отклонение варианты v.

Вычислять их будем по формулам:

Здесь - выборочное среднее значение квадрата условной варианты u;

- выборочное среднее значение квадрата условной варианты v.

3) Для случая нашей корреляционной таблицы наибольшая частота nxy = 47, она соответствует значениям вариант x = 40 и y = 35. Эти значения возьмём в качестве ложных нулей

C1 = 40, C2 = 35.

Шаг h1 равен разности между двумя соседними значениями вариант признака X (20-10); шаг h2 равен разности между двумя соседними значениями вариант признака Y (25-15), т. е.

h1 = 10, h2 = 10.

Вообще говоря, эти шаги не обязательно должны быть равными, и в общем случае h1 ¹ h2 .

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах.

Это делается следующим образом.

В первой строке вместо ложного нуля C1 (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записывают -1; - 2; - 3; справа от нуля пишут 1; 2.

В первом столбце вместо ложного нуля C2 (варианты 35) пишут 0; над нулём последовательно записывают -1; -2; под нулём пишут 1; 2.

Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной табл. 1. В итоге получим корреляционную табл. 3.2 в условных вариантах.

Таблица 3.2.

	u
v	- 3	- 2	- 1	0	1	2	nv
- 2	5	7	-	-	-	-	12
- 1	-	20	23	-	-	-	43
0	-	-	30	47	2	-	79
1	-	-	10	11	20	6	47
2	-	-	-	9	7	3	19
nu	5	27	63	67	29	9	n = 200

4) С помощью этой таблицы находим средние выборочные и условных вариант, перемножая сначала значения в верхней и нижней строчках, а затем в первом и последнем столбцах: