Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 8 )

В последние годы среди студентов экономических специальностей особой популярностью пользуется следующая литература:

Высшая математика для экономистов. / Под. ред. .-М.: Банки и биржи, 1997. , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1986. , , Савельева высшей математики для экономических вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986. Красс для экономических специальностей. - М.:Инфра-М, 1998. Исследование операций в экономике. / Под. ред. . - М.: Банки и биржи, 1997. Практикум по высшей математике для экономистов. / Под. ред. . – М.: ЮНИТИ, 2002.

2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету)

Фундамент математических знаний закладывается на лекционных и семинарских занятиях, а также при подготовке к ним. Буквально с первого сентября необходимо выработать серьезное отношение к конспекту по математике. Он должен в полном объеме содержать определения, теоремы и выводы основных формул курса. Записи должны быть аккуратными. Не нужно забывать, что они делаются для того, чтобы впоследствии с ними работать. Все теоремы и факты нужно понять, а поняв, уметь их самостоятельно доказывать. Прочитав доказательство какой-то теоремы, воспроизвести это доказательство на бумаге без конспекта или учебника.

Помните, что умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. Учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение – важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо выработать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену или зачету дает слабый и поверхностный результат.

Для успешной сдачи зачета и экзамена студент должен знать наизусть достаточно солидный объем теорем, формул, алгоритмов, моделей. Не откладывая процесс заучивания на последние три дня перед экзаменом, подготовка должна вестись с первых лекций. Будет очень хорошо, если вы заведете себе личный справочник и будете его регулярно изучать, пополняя новым материалом.

Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по темам лекций

Примеры решения задач по темам I семестра

Пример 1. Студент знает 15 вопросов из 30 в первом разделе курса и 25 из 40 вопросов второго раздела этого курса.

Найти вероятность того, что студент:

1) знает ответы на оба вопроса;

2) не знает ответов на оба вопроса;

3) знает ответ только на один вопрос в билете.

Решение. Обозначим общее число вопросов первого раздела курса n1 = 30, а количество выученных вопросов этого раздела m1 = 15.

Общее число вопросов второго раздела курса — n2 = 40, а количество выученных вопросов этого раздела (т. е. благоприятствующих хорошему ответу) m2 = 25.

Далее введём обозначение событий. Пусть:

-  событие A состоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из первого раздела курса; — противоположное событие, состоит в том, что студент не знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из первого раздела курса; событие B состоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из второго раздела курса; — противоположное событие, состоит в том, что студент не знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из второго раздела курса.

Вероятности событий A и B найдём, пользуясь классическим определением вероятности:

.

Вероятности противоположных событий и определим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий :

.

1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события:

-  пусть событие C состоит в том, что студент знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса из первого и второго разделов курса.

Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, что C = A×B.

Для нахождения вероятности события C применим теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда .

2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события: событие D состоит в том, что студент не знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса из первого и второго разделов. Используя понятие произведения двух событий, .

Для нахождения вероятности события D применим снова теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда .

3. Для решения третьего пункта введём ещё одно обозначение события: событие E состоит в том, что студент знает ответ только на один из двух случайным образом предложенных ему вопросов из первого или второго раздела курса. Это сложное событие состоит из двух событий: или студент знает ответ на случайный вопрос из первого раздела и не знает ответ на вопрос из второго раздела, т. е. , или студент не знает ответ на вопрос из первого раздела и знает ответ на вопрос из второго раздела, т. е. .

Окончательно, событие .

Для нахождения вероятности этого события сначала применим теорему сложения вероятностей несовместных событий.

В нашем случае будет .

Теперь дважды применим теорему умножения вероятностей независимых событий:

.

Подставляем числовые значения этих вероятностей, получим:

.

Ответ. 1. Студент знает ответы на оба предложенных вопроса с вероятностью P(C) = . 2. Студент не знает ответов на оба предложенных вопроса с вероятностью . 3. Студент знает ответ на один из двух предложенных ему вопросов с вероятностью .

Пример 2. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока составляет для пылесоса 0,8 и для холодильника 0,95.

Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:

1) оба прибора;

2) хотя бы один прибор?

Решение. Введём обозначение событий. Пусть событие A состоит в том, что пылесос не сломается в течение гарантийного срока; — противоположное событие, состоит в том, что пылесос сломается в течение гарантийного срока; событие B состоит в том, что холодильник не сломается в течение гарантийного срока; — противоположное событие, состоит в том, что холодильник сломается в течение гарантийного срока. Вероятности событий A и B нам даны в условии задачи: P(A) = 0,80; P(B) = 0,95. Вероятности противоположных событий и определим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий:

P() = 1 – P(A) = 1 – 0,80 = 0,20,

P() = 1 – P(B) = 1 – 0,95 = 0,05.

1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события: событие C состоит в том, что оба прибора не сломаются в течение гарантийного срока. Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, что C = A×B. Для нахождения вероятности события C применим теорему умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB) = P(A)×P(B). Тогда P(C) = P(A × B) = P(A)×P(B) = 0,80×0,95 = 0,760.

2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события:

-  событие D состоит в том, что в течение гарантийного срока хотя бы один прибор будет работать.

-  — противоположное событие, состоит в том, что оба прибора сломаются в течение гарантийного срока. Используем понятие произведения двух событий: . Для нахождения вероятности события применим ту же теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда .