Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 11 )

Теперь находим средние выборочные и значения квадратов условных вариант u и v, перемножая сначала значения квадратов в верхней на значения в нижней строчках, а затем квадратов значений в первом на значения в последнем столбцах, получим:

5) Находим величины средних разбросов значений условных вариант u и v:

Далее вычисляем средние квадратические отклонения значений истинных вариант x и y:

Так же находим средние выборочные и истинных вариант:

6) Для нахождения выборочного коэффициента rв линейной корреляции

осталось вычислить двойную сумму .

7) Для этого составляем расчётную табл. 3.3.

Дадим пояснения к её заполнению.

а) Количество строк и количество столбцов в ней увеличиваем на один по сравнению с их количеством в табл. 3.2.

б) В каждой клетке записываем три числа: в центре клетки по-прежнему записана варианта nuv; в правом верхнем углу — её произведение на соответствующую варианту u из второй строки, например, в первой клетке в правом верхнем углу записано произведение 5 × (–3) = –15; в левом нижнем углу записываем произведение частоты nuv на соответствующую варианту v, стоящую в первом столбце, так в первой клетке внизу слева записано произведение 5×(–2) = –10.

в) Складываем все числа, помещённые в правых верхних углах клеток одной и той же строки, а их сумму записываем в клетку этой же строки, но в предпоследний столбец U. Например, для первой строки U = –15 + (–14) = –29.

г) Умножаем варианту v из первого столбца на соответствующее значение U из предпоследнего столбца и полученное произведение записываем в клетку этой же строки последнего столбца v × U. Например, для первой строки варианта v = –2, значение параметра U = -29, следовательно, их произведение будет v × U = (–2) × (–29) = 58. Это число и записываем для первой строки в последний столбец.

д) Складываем все числа последнего столбца v × U, получаем сумму , которая и равна искомой сумме .

е) Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам.

Если результаты совпадают, то

8) Теперь выборочный коэффициент rв линейной корреляции будет равен

9) В уравнения прямых линий регрессии

подставляем все найденные величины:

Получим:

Таблица 3.3.

u v	-3	-2	-1	0	1	2	U = S nuv × u	v×U
-2	-15	-14	-	-	-	-	-29	58
5	7
-10	-14
-1	-	-40	-23	-	-	-	-63	63
20	23
-20	-23
0	-	-	-30	0	2	-	-28	0
30	47	2
0	0	0
1	-	-	-10	0	20	12	22	22
10	11	20	6
10	11	20	6
2	-	-	-	0	7	6	13	26
9	7	3
10	14	6
V=S nuv × v	-10	-34	-13	29	34	12		=
u × V	30	68	13	0	34	24		= 169

10) Построим графики этих уравнений на одном рисунке.

а) Для построения прямой выберем два значения x, достаточно удалённые друг от друга, но лежащие в области изменения параметра X, например, x1 = 10 и x2 = 60. Подставим их поочерёдно в уравнение, получим:

Точки М1(x1;y1) = М1(10;17,2) и М2 (x2;y2) = М2 (60;53,3) наносим на диаграмму рассеяния и, соединив их, получаем график прямой линии регрессии (рис.).

б) Строим прямую ; выбираем значения y: y1 = 15 и y2 = 55. Подставим поочерёдно в уравнение, получаем:

Точки N1 (x1; y1) = N1 (18,4; 15) и N2 (x2; y2) = N2 (51,6; 55) так же наносим на диаграмму рассеяния и, соединив их, получаем график второй прямой линии регрессии (рис.1).

Рис.1 Диаграмма рассеяния и прямые линии регрессии, описывающие связь между объёмом основных фондов X предприятия и стоимостью готовой продукции Y.

Ответ:

1) Предполагая, что связь между признаками X и Y является линейной, получили выборочные уравнения прямых линий регрессий в виде: ; .

2) Диаграмма рассеяния и графики прямых линий регрессии представлены на рис.

3) Выборочный коэффициент корреляции rВ = + 0,78. Он показывает, что связь между объёмом основных фондов X предприятия и стоимостью готовой продукции Y является высокой.

Примерный вариант практического задания.

Задание №1. При изучении прибыли малых предприятий одного профиля было обследовано n предприятий и получены значения прибыли за месяц X усл. ден. ед., представленные в таблице. Требуется:

1. Выполнить первичную статистическую обработку результатов наблюдений:

а) определить выборочное среднее ;

б) «исправленное» стандартное отклонение S(x);

в) коэффициент вариации V(x) изучаемого признака.

2. Полагая, что изменчивость признака X описывается законом нормального распределения, найти доверительный интервал для среднего значения прибыли а предприятий этого профиля на уровне заданной надёжности.

24,1

23,5

19,2

21,8

20,3

22,4

22

23,1

19,9

22,7

21,5

n = 11

= 0,95