Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 9 )

Но это вероятность противоположного события , а нам надо узнать вероятность прямого события D, которую определим, пользуясь соотношением между вероятностями противоположных событий. Тогда вероятность того, что будет работать хотя бы один прибор:

P(D) = 1 – P() = 1 – 0,010 = 0,990.

Ответ. 1. Вероятность того, что пылесос и холодильник будут работать в течение гарантийного срока, P(C) = 0,76.

2. Вероятность того, что хотя бы один из приборов будет работать в течение гарантийного срока, P(D) = 0,99.

Пример 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.

Решение. Событие A = {деталь оказалась отличного качества}. Гипотезы:

-  B1 — деталь изготовлена первым автоматом, B2 — деталь изготовлена вторым автоматом.

Найдем вероятности гипотез, исходя из того, что производительность первого автомата вдвое больше второго: .

— вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества, при условии, если она произведена первым автоматом. — вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества, при условии, если она произведена вторым автоматом.

По условию задачи эти вероятности соответственно равны .

Найдем вероятность P(A) по формуле полной вероятности:

Первое слагаемое соответствует доле вероятности изготовления деталей отличного качества первым автоматом. Тогда по формуле Бейеса имеем:

.

Ответ. Вероятность того, что взятая с конвейера деталь, которая оказалась отличного качества, произведена первым автоматом, равна 10/17.

Пример 4. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение 4 суток.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 7 суток постоянна и равна p = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25. По условию задачи количество повторных независимых испытаний, т. е. количество наблюдаемых суток, n = 7, k = 4. Используя формулу Бернулли, получаем:

.

Ответ. Из 100 недель, взятых для наблюдения, в 17 случаях расход электроэнергии не превысит нормы в течение 4 суток.

Пример 5. Установлено, что в данном технологическом процессе в среднем 90% выпускаемых изделий являются стандартными. При выборочном контроле качества продукции было случайным образом отобрано 400 изделий. Каково наивероятнейшее число стандартных изделий среди 400 отобранных и чему равна соответствующая этому событию вероятность? Какова вероятность того, что среди этих 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных?

Решение.

1. Наивероятнейшее число k0 событий в серии из n повторных независимых испытаний находим как целое число, заключённое в пределах: np – q £ k0 £ np + p.

В нашей задаче:

общее число испытаний n = 400 (количество отобранных для контроля изделий);

p = (90%) = 0,9 — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным;

q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1 — вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным.

Подставляем числовые данные в двойное неравенство, получим

400·0,9 – 0,1 £ k0 £ 400·0,9 + 0,9 Þ 360 – 0,1 £ k0 £ 360 + 0,9 Þ

Þ 359,9 £ k0 £ 360,9.

В этих пределах находится единственное целое число k0 = 360, т. е. вероятнее всего, что из наугад выбранных 400 изделий стандартными окажутся 360.

При больших значениях n наивероятнейшее число k0 событий приближённо можно находить из соотношения

k0 » n·p = 400·0,9 = 360.

2. Найдём вероятность P400(360), используя локальную формулу Лапласа:

,

где , а — нормированная функция Гаусса.

Тогда .

Для составлены таблицы в зависимости от её аргумента

.

Находим, что значение функции Гаусса . Тогда искомая вероятность будет:

.

3. Вероятность P400 (34 £ k £ 50) того, что среди 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных будем находить, используя интегральную теорему Лапласа:

Pn(k1 £ k £ k2) Ф(z2) – Ф(z1),

где — функция Лапласа, а , — её аргументы.

Но здесь следует изменить вероятности p и q прямого и противоположного событий:

p — вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным, p = 0,1;

q — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным, q = 0,9.

Находим аргументы функции Лапласа:

Тогда Pn(k1 £ k £ k2) » Ф(z2) – Ф(z1) = Ф(1,67) – Ф(-1).

Значения функции Лапласа находим в таблице, учитывая, что эта функция нечётная Ф(‑x) = ‑ Ф(x).

Тогда Ф(1,67) = 0,4525, Ф (-1) = -0,3413, получаем:

P400(34 £ k £ 50) » Ф(z2) – Ф(z1) = Ф(1,67) – Ф(-1) = 0,4525 – (- 0,3413) = 0,4525 + 0,3413 = 0,7938.

Ответ. 1. Вероятнее всего, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся k0 = 360 шт.

2. Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся 360, — P400(360) » 0,0665 » 0,07.

3. Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий нестандартными окажутся не менее 34 и не более 50, будет равна P400(34 £ k £ 50) » 0,7938 » 0,79.

Пример 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной функцией плотности:

Решение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], вычисляется по формуле:

.

Найдем :

.

Дисперсия вычисляется по формуле:

.

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:

.

Ответ. Математическое ожидание случайной величины X ; дисперсия ; среднее квадратическое отклонение — .