Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 10 )

Пример 3.

Пример 4. Найти производную функции

 .

Дифференцируем сначала как сумму функций:

 

Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем

 

Пример 5. Найти производную функции 

.

Преобразуем каждое слагаемое данной функции в степенную форму:

 

Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования степенной функции, получаем:

 

Пример 6. Вычислить производную функции

 .

По правилу дифференцирования степенной функции находим:

 

Пример 7.Найти производную функции 

 Так как производная суммы равна сумме производных, то

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

 

Пример 8. Найти производную функции 

По правилу дифференцирования сложной функции:

В свою очередь производная  также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ. 

Пример 9. Найти производную второго порядка от функции 

Находим первую производную как производную сложной функции:

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель -  - есть сложной функцией:

Ответ. 

Глава 6. Интегральное исчисление

6.1. Первообразная, неопределенный интеграл

1.Определения

Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т. е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).

Примеры:

1) f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥)

f(x)=a (Const), F(x)=ax+C, X=(-¥,¥)

f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-¥,¥)

f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥)

Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

Таким образом, если F – первообразная для f, то

=F(x)+C на X

6.2.Свойства неопределенного интеграла

1) , в частности,

2)

3) ,

4)

6.3.Таблица неопределенных интегралов

1) + С, a ¹ - 1.

2) = ln|x| + С, X={x>0} или X={x<0}

3) + C, a¹1, =ex+C

4) sin x dx = - cos x + C, cos x dx = sin x + C

5)

6) x + C, + C

7) =tg x + C, =-ctg x + C

8) + C

9) + C

10) x dx = ch x + C, x dx = sh x + C

11) = th x + C, = - cth x + C

6.4. Два основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование. Применяя формулы интегрирования, находим неопределённый интеграл.

Примеры вычисления неопределённого интеграла.

Пример 1. Вычислить неопределенный интеграл 

Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

В нашем случае  , тогда искомый интеграл равен:

Ответ. 

Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл 

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя  за знак интеграла

далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим

Ответ. 

2. Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т. е. =F(x)+C, x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

=.

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

Пример 2. Найти неопределенный интеграл 

Решение. Введем замену  и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции: