Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 7 )

Если при постановке задачи на неизвестные, которые нужно определить, накладываются ограничения, удовлетворяющие линейным неравенствам или линейным уравнениям, и если целевая установка выражается в виде линейной функции, то задача отыскания неизвестных, удовлетворяющих заданным ограничениям, при которых целевая функция достигает экстремального значения, относится к разделу математики, который называется линейным программированием.

Определение 1.Функция, наибольшее или наименьшее значение которой надо найти, называется целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых достигается наибольшее или наименьшее значение определяет так называемый оптимальный план. Всякая же другая совокупность значений, удовлетворяющая ограничениям, определяет допустимый план.

Определение 2.Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на её аргумент, называется математической моделью экономической задачи оптимизации.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается как

при ограничениях

Наиболее распространённая интерпретация сформулированной задачи состоит в следующем: имеется n ресурсов при некоторых m ограничениях; нужно определить объёмы этих ресурсов , при которых целевая функция будет достигать максимума (минимума), т. е. найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов. При этом возникают также и ограничения, которые называются естественными: .

Для составления математической модели ЗЛП необходимо выполнить следующие этапы:

Обозначить переменные;

Составить целевую функцию в соответствии с целью задачи;

Записать систему ограничений с учётом имеющихся в условии задачи показателей.

Построение моделей для простейших экономических задач.

Задача1. Фирма выпускает 2 вида мороженного: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженного используют два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов	Запас, кг
сливочное	шоколадное
молоко	0,8	0,5	400
наполнители	0,4	0,8	365

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженное превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, удалось установить, что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1кг сливочного мороженного 16 ден. ед., а шоколадного 14 ед.

Определить количество мороженного каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение.

Обозначим: - суточный объём выпуска сливочного мороженного, кг, - суточный объём выпуска шоколадного мороженного, кг. Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид

При ограничениях

Задача 2. при составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50кг) и силоса (не более 85кг). Рацион должен обладать определённой питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1кг), кальций (не менее 100г) и фосфор (не менее 80 г).

В следующей таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1кг каждого продукта питания и себестоимость (коп/кг) этих продуктов.

Продукты	Количество кормовых единиц	Белок г/кг	Кальций г/кг	Фосфор г/кг	Себестоимость Коп/кг
Свежее сено	0,5	40	1,25	2	1,2
силос	0,5	10	2,5	1	0,8

Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости.

Решение. Пусть х кг - количество сена, у кг - силоса.

Задача 3. Для изготовления двух видов изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в наличии в ограниченном количестве. На изготовление указанных двух видов изделий заняты токарные и фрезерные станки. В следующей таблице приведены исходные данные задачи.

Виды ресурсов	Объём ресурсов	Нормы расхода на изделие типа А	Нормы расхода на изделие типа В
Сталь(кг)	570	10	70
Цвет мет (кг)	420	20	50
Токарные станки (станко-часы)	5600	300	400
Фрезерные станки (стонко-часы)	3400	200	100
Прибыль (тыс. руб)		3	8

Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

Решение. Пусть х – изделий типа А, у – изделий типа В.

Задача 4. Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что молочный завод будет ежедневно производить тонн молока, тонн кефира и тонн сметаны. Тогда ему для изготовления этой продукции необходимо кг молока.

Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство .

Аналогичные рассуждения, проведенные относительно возможного использования линий разлива цельномолочной продукции и автоматов по расфасовке сметаны, позволяют записать следующие неравенства:

Так как ежедневно должно вырабатываться не менее 100 т молока, то. Далее, по своему экономическому смыслу переменные могут принимать только лишь неотрицательные значения: .Общая прибыль от реализации тонн молока, тонн кефира и тонн сметаны равна руб. Таким образом, приходим к следующей математической задаче. Дана система

четырех линейных неравенств с тремя неизвестными ,, и линейная функция относительно этих же переменных .

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором функция принимает максимальное значение. Так как система представляет собой совокупность линейных неравенств и функция ( линейная, то исходная задача является задачей линейного программирования.

4.2. Графический метод решения задач линейного программирования.

Наиболее наглядным и простым методом решения ЗЛП является графический метод. Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т. е. для одного из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.