Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 5 )

Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r<n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Решение. Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Имеем

Последняя, нулевая строка в расширенной матрице, полученной после третьего шага, появилась из-за того, что в исходной системе четвёртое уравнение является суммой 1-го и 3-го уравнений. Система совместная, и после удаления нулевой строки заключительный вид расширенной матрицы соответствует системе трёх уравнений с четырьмя неизвестными (ранг системы меньше числа неизвестных). Полагая свободной переменной, получаем:

Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса

Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, поскольку может принимать любые значения. Придавая какое-нибудь значение, мы получим частное решение.

Решение задач по теме.

2.

3.

4.

5.

6.

Глава 3.

Системы линейных неравенств.

3.1. Уравнение прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

.

Пусть прямая отсекает ось ОУ в точке В(0;b) и образует с осью ОХ угол (0<<). Возьмём на прямой произвольную точку М(х;у). Тогда тангенс угла наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN:

Введём угловой коэффициент k=tg; получим

; получим y=kx+b. (*)

Итак, координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению (*). А координаты любой точки, не лежащие на прямой, не удовлетворяют уравнению. Уравнение вида y=kx+b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Где , - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох, свободный член b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу. Способ построения прямой по уравнению прямой с угловым коэффициентом хорош, если -табличное значение, а если нет, то нахождение угла затрудняется.

2. Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

ax+by+c=0- общее уравнение прямой.

Но построение прямой по данному уравнению в общем виде ещё неудобнее. Данное уравнение можно привести к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

, где - угловой коэффициент, а - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

3. Уравнение прямой в отрезках.

Построить прямую легко, если привести общий вид уравнения прямой к уравнению в отрезках, т. е.

Абсолютная величина чисел является длинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат соответственно.

Но иногда уравнение прямой ax+by+c=0 является неполным, т. е. какой-то из коэффициентов равен 0. Рассмотрим возможные случаи:

с=0, уравнение имеет вид ax+by=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

b=0 (), уравнение имеет вид ax+c=0 и определяет прямую, параллельную оси Оу :, пересекает ось Ох в точке с абсциссой .

а=0 (), уравнение имеет вид by+c=0 и определяет прямую, параллельную оси Ох (пересекает ось Оу в точке с ординатой ).

Уравнение х=0-ось Оу.

Уравнение у=0-ось Ох.

Пример: Построить прямую 3х-5у+15=0.

Запишем данную прямую в отрезках: . Построим:

Задачи для самоконтроля.

Построить прямые:

а) 3х+4у-12=0

б) 3х-у-3=0

в) -2х+3у-6=0

г) 2х-у-8=0

д) 4х+3=0

е) 5-2у=0

ж) х+у=0

з) 2х+3у=0

и) 25х=0

к) -2/3у=0

Условие параллельности двух прямых.

Пусть прямые заданы уравнениями:

Если , т. е., то прямые не параллельны и пересекаются в одной точке.

Если , то

а), то уравнения определяют одну и ту же прямую.

б) если, то система не имеет решений, а значит прямые параллельны.

Условие перпендикулярности двух прямых:

3.2. Линейные неравенства.

Линейное неравенство с двумя переменными и может быть записано или (*)

(неравенства могут быть строгими, т. е. содержать знак > или <). Если переменные и рассматривать как координаты точки плоскости, то совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству(*) называется областью решений данного неравенства. Если неравенство строгое, то область решения неравенства является полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой , не включая точек на самой этой прямой. Чтобы узнать, какая из полуплоскостей соответствует неравенству, надо:

1 способ: надо взять любую точку из двух полуплоскостей и подставить её координаты в неравенство: если получится верное числовое неравенство, то все точки этой полуплоскости являются областью решений данного неравенства. Если же получим неверное неравенство, то областью решений будет вторая полуплоскость, т. е. полуплоскость, лежащая по другую сторону от прямой.

2 способ: для того, чтобы установить какая из двух полуплоскостей соответствует неравенству (*), достаточно привести это неравенство к виду или к виду . В первом случае искомая полуплоскость лежит выше прямой , а во втором случае - ниже её. Если же , то неравенство приводят к виду , тогда полуплоскость лежит справа (слева) от прямой