Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 9 )

Решив эту систему уравнений, получим . Следовательно, если предприятие изготовит 12 изделий вида А и 18 изделий вида В, то оно получит максимальную прибыль, равную

руб.

Пример 2.Найти максимум и минимум функции при условиях

Решение. Построим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств:

Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости и их пересечение (рис. 6).

Как видно из рис. 6, многоугольником решений задачи является треугольник АВС. Координаты точек этого треугольника удовлетворяют условию неотрицательности и неравенствам системы ограничений задачи. Следовательно, задача будет решена, если среди точек треугольника АВС найти такие, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения. Для нахождения этих точек построим прямую (число 4 взято произвольно) и вектор .

Передвигая данную прямую параллельно самой себе в направлении вектора видим, что ее последней общей точкой с многоугольником решений задачи является точка С. Следовательно, в этой точке функция F принимает максимальное значение. Так как С – точка пересечения прямых I и II, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив эту систему уравнений, получим . Таким образом, максимальное значение функции .

Для нахождения минимального значения целевой функции задачи передвигаем прямую в направлении, противоположном направлению вектора . В этом случае, как видно из рис. 6, последней общей точкой прямой с многоугольником решений задачи является точка А. Следовательно, в этой точке функция F принимает минимальное значение. Для определения координат точки А решаем систему уравнений.

Откуда . Подставляя найденные значения переменных в целевую функцию, получим .

Задачи для самостоятельного решения.

1.Решить задачу линейного программирования.

Глава 5. Дифференциальное исчисление

5.1 Производная

1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости.

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Терминология

Dx=x - x0 – приращение аргумента.

Dy=D f =f(x) - f(x0) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f¢(x0)= =.

Обозначения для производной

Лейбниц, f¢(x0) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x0) Коши.

Теорема. Для существования f¢ (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x0.

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки (x0 , f(x0 )), (x, f(x )) графика, при x® x0 называется касательной к графику функции f(x ) в точке x0

a=arctg=arctg f¢(x0).

Для точек (x, y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,

. Сравнить с определением дифференцируемости в точке .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x0 равен .

Уравнение касательной к графику функции в точке x0 : y - y0= f¢ (x0)(x - x0).

Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае: x - x0 + f¢(x0)(y - y0)=0.

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

5.2.Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции ADx в определении дифференцируемости функции

Df=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

df(x0)=f¢(x0)Dx= ADx.

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения Dx. В каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x, то получим dx=Dx, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница .

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

5.3.Основные правила дифференцирования

Для краткости будем обозначать u=u(x), v=v(x), тогда

, где С=const

Следствие.

4)

5) Производная сложной функции.

Теорема. Если существуют f¢(x0), g¢(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и

5.4.Таблица производных.

.

(ax)¢ = ax ln a.

,

,

(sin x)¢=cos x,

(cos x)¢=-sin x,

(tg x)¢=1/cos2x

(ctg x)¢=-1/sin2x

15)

Примеры вычисления производных.

Пример 1.

Пример 2.