Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 4 )

Пример 2. Вычислить ранг матрицы

Решение: Для матрицы r(A). Проверим, равен ли ранг трём, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т. е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычёркивании одного из столбцов матрицы):

.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(A). Так как существует ненулевой минор второго порядка, например, то r(A).

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоёмко. Для облегчения этой задачи используются преобразования матриц, сохраняющие её ранг.

Назовём элементарными преобразованиями матриц следующие:

Отбрасывание нулевой строки (столбца).

Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление её ранга не представляет труда.

Напомним: Определение. Матрица А называется ступенчатой («треугольной»), если она имеет вид:

А=

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r, так как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:

Покажем на примере вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Превратим данную матрицу в трапециидальную с помощью элементарных преобразований:

Таким образом, ранг матрицы равен 3.

Вывод.

Алгоритм отыскания ранга матрицы методом элементарных преобразований:

элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапециидальную (привести к треугольному виду);

подсчитать число ненулевых строк в полученной матрице.

Решение задач по теме.

Найти ранги матриц:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

2.4. Решение систем линейных алгебраических (СЛАУ) методом Гаусса.

Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Крамера является их большая трудоёмкость, связанная с нахождением определителей и обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных производственных задач с большим количеством неизвестных.

В таких случаях наиболее эффективным является метод Гаусса.

Метод Гаусса-метод последовательного исключения переменных -заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого(или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных находятся все остальные переменные.

При работе с уравнениями системы можно использовать следующие элементарные преобразования:

Умножение и деление коэффициентов на одно и то же число.

Перестановка уравнений системы.

Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Сложение (вычитание) уравнений системы.

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере:

Пример. Решить систему уравнений:.

Приведём данную систему к ступенчатому виду: переставим местами первое и третье уравнения:

Умножим первое уравнение на -2 и прибавим его ко второму:

Умножим первое уравнение на -3 и прибавим его к третьему уравнению:

Второе уравнение умножим на 8, а третье на -3 и прибавим полученное второе к полученному третьему:

Мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду (говорят «выполнили прямой ход»), теперь найдём значения неизвестных (выполним «обратный ход»):

Ответ: (1;2;3)

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу

,

Называемую расширенной матрицей системы, ибо в неё, кроме матрицы системы А, дополнительно включён столбец свободных членов.

Пример 1.

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как , то умножая вторую, третью и четвёртую строки матрицы на числа (-2),(-3),(-2) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, четвёртой строкам, исключим переменную из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой матрице , поменяем местами вторую и третью строки:

Шаг 2. Так как теперь , то умножая вторую строку на и прибавляя полученную строку к четвёртой, исключим переменную из всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Учитывая, что , то умножаем третью строку на (13,5/8=27/16) и прибавляя полученную строку к четвёртой, исключим переменную . Получим (см. последнюю матрицу) систему уравнений:

Откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдём из четвёртого уравнения , из третьего ; из второго и из первого уравнения , т. е. решение системы (1;2;-1;-2).

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво - оно привелось неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.

Т. е. система уравнений в примере 2 не имеет решений.

При преобразовании расширенных матриц мы можем столкнуться с разными исходами. Вопрос о разрешимости системы уравнений в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. r=n, то система имеет единственное решение.