Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 6 )

Пример. Найти область решений неравенств:

;

Решение: а) построим прямую . Запишем данное уравнение в виде уравнения прямой в отрезках: . Таким образом, данная прямая пересекает координатные прямые в точках с координатами: (0;3) и (6;0). Эта прямая разделила координатную плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит точка О(0;0). Подставим и в данное неравенство, получим верное числовое неравенство , следовательно, все точки, лежащие ниже прямой , являются областью решения данного неравенства.

Рисунок 1:

б) уравнение определяет прямую, параллельную вертикальной оси и отстоящую от неё на три единицы слева. Координаты точки О(0;0) обращают данное неравенство в верное числовое неравенство 3>0. Следовательно, все точки полуплоскости, лежащие справа от прямой , исключая точки на самой прямой, ( поэтому прямая изображена пунктиром) образуют область решения данного неравенства. Рисунок 2:

в) область решения неравенства является полуплоскость, лежащая снизу от прямой . Точки самой этой прямой не принадлежат области решений неравенства. Рисунок 3.

3.3. Система неравенств.

В общем виде любую систему линейных неравенств с двумя неизвестными можно записать так:

Где m-любое натуральное число.

Решением такой системы будет пересечение конечного числа полуплоскостей, являющихся областями решений каждого из m неравенств.

Эта область может быть неограниченной, пустой, ограниченной. Она обладает важным свойством : вместе с любыми своими двумя точками содержит и весь соединяющий их отрезок, т. е. область эта является выпуклой. Примеры областей решения системы неравенств изображены на рисунках :

Пунктиром изображены неограниченные области.

Система неравенств с тремя неизвестными может быть записана так:

Каждое из данных неравенств определяет некоторое полупространство. Следовательно, решением такой системы является пересечение (общая часть) m полупространств в трёхмерном пространстве.

Графическое решение системы неравенств с тремя переменными представляет некоторые трудности, поэтому ограничимся решением системы линейных неравенств с двумя переменными.

Пример1. Найти область решений системы неравенств:

Решение: Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения:. Изобразим прямые на плоскости. Приведём данные неравенства к виду: . Штриховка показывает те из полуплоскостей, которые служат областями решений соответствующих неравенств.

Областью решений данной системы является выпуклый четырёхугольник (см. рис.4 )

Рис 4.

рис. 4

Пример 2. Найти область решений системы неравенств:

.

Решение: Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения:. Изобразим данные прямые на плоскости. Приведём неравенства к виду:

. Областью решений системы неравенств является неограниченная выпуклая фигура (см. рис.5)

Задачи для самостоятельного решения.

Ответ: Областью решений данной системы является выпуклый четырёхугольник.

Ответ: Не существует ни одной точки, общей для трёх полуплоскостей. Это означает, что данная система не имеет решений.

Ответ: Не существует ни одной точки, общей для четырёх полуплоскостей. Это означает, что данная система не имеет решений.

Ответ: Областью решений данной системы является отрезок.

Глава 4.

Линейное программирование.

4.1.Содержание математического программирования. Общие понятия линейного программирования.

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами? Наши средства и ресурсы всегда ограничены.

В классической математике методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в математическом программировании.

Математическое программирование является одним из разделов исследования операций – прикладного направления кибернетики, используемого для решения практических организационных задач. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий).

Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т. е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, – с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения современных электронных вычислительных машин. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения.

Линейное программирование –это область математического программирования, являющегося разделом математики, в котором изучаются методы исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены ограничения.

Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике. Однако экономисту полезно знать о свойствах интеллектуального инструмента, которым он пользуется.

При рассмотрении многих экономических задач мы сталкиваемся с необходимостью выбора наилучшего, или оптимального, решения из множества решений, которые допускаются условием задачи. Выбор такого частного решения, как наилучшего, зависит от цели, которую ставят при формулировке самой задачи. Примерами такого рода целей являются: установка наилучшей программы производства, обеспечивающей выпуск наибольшего количества изделий; наилучшее использование сырья или оборудования; получение максимальной прибыли или минимальных издержек производства. Таким образом, при постановке задачи выбирают какой-либо показатель производства и доводят его до максимума или минимума. До максимума стремятся довести выпуск продукции, производительность труда, выпуск продукции, прибыль, урожай и т. п. До минимума – затраты рабочего времени, транспортные издержки, расходы сырья и пр.