Сделаем обратную замену

Ответ. 

6.5. Свойства определенного интеграла

1.Простейшие свойства

1) Если f и g интегрируемы на [a, b], то f + g также интегрируема на [a, b] и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.

2) Если f интегрируема на [a, b] , то cf(x) также интегрируема и

c f(x)dx =cf(x)dx.

3) Если f интегрируема на [a, b] , то

f(x)dx =- f(x)dx.

Теорема 3. Если f(x) – интегрируема на [a, b] и cÎ [a, b], то f(x) – интегрируема на [a, c] и [c, b] и

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.

Примеры вычисления определённого интеграла.

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим



Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

даёт

а

Используя теперь формулу (50), получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Список рекомендуемой литературы.

, Математика для экономистов.-СПб.: Питер,2007

Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пос./ Под ред. . Москва ИНФРА-М 2007.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,Дахневич алгебра и линейное программирование: Учебное пособие.-Волгоград: Изд-во ВКПК, 1999.-89с.

, , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч..Учеб. пособие для втузов.-5-е изд., испр.-М.: Высш. шк.

Контрольные работы.

Номер варианта выбирается по последней цифре номера Вашей зачётной книжки.

Вариант 0.

№1. Выполнить действия над матрицами:

№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя переменными ()

№ 5. Найдите вторую производную функции и вычислите .

№ 6. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого 96см, чтобы его объём был наибольшим?

№ 7. Найдите дифференциал функции

№ 8. Найдите интегралы:

№ 9. Найдите интегралы:

.

№10. Вычислите определённые интегралы:

Вариант 1

№1. Выполнить действия над матрицами:

№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя переменными ()

№ 5. Найдите производную функции и вычислите .

№ 6. Резервуар ёмкостью 108 куб м с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?

№ 7. Вычислите значение дифференциала функциипри .

№ 8. Найдите интегралы:

№ 9. Найдите интегралы:.

№ 10. Вычислите определённые интегралы:

Вариант 2

№1. Выполнить действия над матрицами:

№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя переменными ()

№ 5. Найдите производную функции и вычислите .

№ 6. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?

№ 7. Шар радиуса 15 см был нагрет, вследствие чего объём его увеличился на 22,5 куб см. Найдите приближённо радиус удлинения шара.

№ 8. Найдите интегралы:

№ 9. Найдите интегралы:.

№10. Вычислите определённые интегралы:


Вариант 3

№1. Выполнить действия над матрицами:

№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

№3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

№ 4. Решить графическим методом задачи линейного программирования с двумя переменными ()

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12