Задания и методические рекомендации по выполнению контрольных работ студентами заочного отделения (стр. 3 )

Решение

Сначала находим произведение А на на 3, затем В на 2

Теперь найдем разность полученных матриц

4. Найти произведения матриц

Решение

Найдем каждый элемент матрицы произведения

5. Вычислить

Решение

6. Вычислить определитель второго порядка

Решение

7. Вычислить определители третьего порядка.

Решение

Правило Сарруса:

Задания для самоконтроля.

Дана матрица . Какую матрицу В нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу?

Ответ:

Дана матрица. Найти сумму матриц .

Ответ:

Вычислить матрицу , где . Ответ:.

4. Найти произведение матриц АВС, где . Ответ:.

Вычислить матрицу D=ABC-3E, где , Е - единичная матрица.

Ответ: .

Вычислить , если . Ответ:.

Глава 2. Системы линейных уравнений.

Задача: Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырьё трёх типов. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на один день заданы таблицей:
Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви.

Виды сырья	Нормы расхода сырья на одну пару	расхода сырья на один день, усл. ед.
Сапоги	Кроссовки	Ботинки
1	5	3	4	2700
2	2	1	1	900
3	3	2	2	1600

По условию этой задачи можно составить следующую систему уравнений:

К системам линейных уравнений приводит множество прикладных и экономических задач.

2.1. Основные понятия и определения.

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

,

Где - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Определение 1. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение 2. Совместная система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Решить систему уравнений можно по формулам Крамера.

2.2. Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Теорема Крамера: Пусть - определитель матрицы системы А, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Эти формулы получили название формул Крамера.

1. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Составим из коэффициентов и свободных членов три определителя:

Второй и третий определители получаются из первого определителя заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов. Тогда по формулам Крамера:

.

Замечание. Если =0, а хотя бы один из определителей не равен 0, то система несовместна и не имеет решений. Если все определители системы =0, то система неопределенна и имеет бесконечно много решений.

Пример 1.

Ответ: (2;-1)-решение системы.

2. Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

, ,,

Пример (решим исходную задачу):

Итак, x=200,y=300,z=200, т. е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300-кроссовок, 200 пар ботинок.

Задачи для самоконтроля:

Существует ещё много методов для решения систем линейных уравнений.

2.3. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.

Дана прямоугольная матрица:

А=

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов (). Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы является минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n. Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 5. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом этой матрицы.

Обозначают ранг так: r(A).

Пример 1.

Вычислить ранг матрицы

Решение: Сама матрица А имеет четвёртый порядок, поэтому r(A). Однако легко проверить, что , так как матрица содержит нулевой столбец, поэтому r(A). Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевой определитель, значит r(A). Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвёртый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом r(A). Поскольку матрица содержит ненулевые элементы, то r(A).