Геометрия треугольника и окружности (стр. 2 )

Воспользовавшись формулой , находим

II способ вычисления R.

Так как стороны треугольника равны 10, 10, 12, а , то треугольник остроугольный, значит, центр О описанной окружности лежит внутри треугольника (рис.15). Имеем: АО = OB = R, OH = 8 – R, АН = 6. Применив к треугольнику АОН теорему Пифагора, получим: АО2 = ОН2 + АН2, т. е. R2 = (8 – R)2 + 62, откуда находим

Рис. 15

III способ вычисления R.

Опустим из центра О описанной окружности перпендикуляр ОК на сторону АВ (рис. 16). Тогда АК = ВК = 5. Из подобия треугольников ОКВ и АНВ получаем , т. е. , откуда .

Рис. 16

Ответ:

Замечание 4. При решении задач на равнобедренный треугольник важно учитывать взаимное расположение центров вписанной и описанной окружностей. Если треугольник остроугольный, как было в задаче 3, то оба центра лежат на оси симметрии внутри треугольника. Если треугольник равносторонний, то центры совпадают, если нет – то не совпадают. Возникает вопрос: какой из центров лежит тогда дальше от основания АС равнобедренного треугольника (т. е. ближе к вершине В)?

Если угол при вершине В меньше 60°, то центр описанной окружности ближе к В, если же угол при вершине В больше 60° (но меньше 90°), то центр вписанной окружности ближе к В. Это можно доказать, например, так.

Вернемся к рис. 15 и предположим, что угол ABC меньше 60°, т. е. угол АВН меньше 30°. Тогда угол ВАН больше 60°. Так как, далее, АО = ВО, то углы ВАО и ABO равны, т. е. угол ВАО меньше 30°, а значит, угол ОАН больше 30° (напомним, здесь О – центр описанной окружности). Чтобы найти центр О1, вписанной окружности, надо провести биссектрису угла ВАН (см. рис. 13). Эта биссектриса проходит внутри угла ОАН, т. е. пересекает ВН в точке О1, лежащей ниже точки О. Аналогично доказывается, что если угол ABC больше 60°,точки О и О1 поменяются местами (проведите это рассуждение самостоятельно).

Для прямоугольного равнобедренного треугольника проблем нет: центр вписанной окружности лежит внутри треугольника, центр описанной – на стороне (на гипотенузе). Нет проблем и в случае тупоугольного равнобедренного треугольника, где, как обычно, центры вписанной и описанной окружностей лежат на оси симметрии, но первый – внутри, а второй – вне треугольника.

Замечание 5. В конце предыдущего замечания указывается на то, что при решении задач, связанных с описанной около треугольника окружностью, важно правильно определить вид треугольника, чтобы не допустить ошибки в чертеже. Если бы в задаче 3 стороны треугольника были равны, например, 10, 10 и 16, то, поскольку 162 > 102 + 102, треугольник был бы тупоугольным и вместо рис.15 пришлось бы опираться на геометрическую модель, изображенную на рис. 17.

Рис. 17

Возьмите себе за правило: если в задаче треугольник задан своими сторонами, то, прежде чем делать чертеж, определите вид треугольника. Так мы поступим и в следующей задаче.

Задача 4. Чему равна длина окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 24, 26?

Решение.

1. Имеем: 102 = 100 , 242 = 576 , 262 = = 676. Так как 262 = 102 + 242, то заданный треугольник – прямоугольный.

2. Так как треугольник прямоугольный, то

3. Вычислим длину окружности: .

Ответ:.

Задача 5. Сторона ВС треугольника ABC равна 2 см. Окружность проходит через точки А и В, причем касается стороны ВС в точке В и пересекает сторону АС в точке М. Чему равна длина стороны АС, если известно, что AM = СМ + ВС?

Решение. Положим СМ = х, тогда АМ = х + 2, АС = 2х + 2 (рис. 18).

Рис. 18

Для составления уравнения воспользуемся теоремой о метрических соотношениях в окружности. Имеем: АССМ = ВС2, т. е. (2х+2)х = 4. Из этого уравнения находим х = 1. Значит, АС = 4 см.

Ответ: 4 см.

Рассмотрим теперь серию задач, не «привязанных» специально к той или иной теореме.

Задача 6. Из вершины А треугольника ABC проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, пересекающие сторону ВС и ее продолжение в точках D и Е соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ADE, если известно, что ВС = а и АВ : АС = 2:3.

Решение.

1.  Имеем последовательно (рис. 19):

PAB + BAC = 180°,

2EAB + 2BAD = 180°,

EAB + BAD = 90°.

Значит, треугольник EAD прямоугольный, а потому радиус описанной окружности равен половине гипотенузы DE. Таким образом, задача сводится к нахождению длины отрезка DE.

Рис. 19

2.  Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла. Согласно этой теореме, , т. е. Но ВС = а, значит, BD = . Интересующий нас отрезок DE есть сумма отрезков BD и ВЕ, значит нам осталось только найти длину отрезка ВЕ.

3.  Проведем и рассмотрим АВК. У него, с одной стороны, AM – биссектриса (по условию). С другой стороны, как мы доказали выше, , значит, , т. е. AM – высота. Таким образом, AM— высота и биссектриса, а это значит, что треугольник АВК равнобедренный: АВ = АК.

По условию , т. е. , значит, АК : КС = = 2:1.

4.  Еще раз воспользуемся тем, что . Тогда по теореме Фалеса имеем: BE:ВС = АК:КС, т. е. BE : а == 2:1, откуда находим BE = 2а.

5.  Подведем итоги: R = DE = (BE + BD) = (2a + a) = a.

Ответ:

Задача 7. Докажем, что если высота и медиана, проведенные из одной вершины неравнобедренного треугольника, лежат внутри треугольника и образуют с его боковыми сторонами равные углы, то этот треугольник прямоугольный.

Решение.

1. Опишем около данного треугольника ABC окружность и продолжим высоту BD и медиану ВМ до пересечения с окружностью в точках Е и К соответственно (рис. 20). Так как по условию ABE= KBC, то дуги АЕ и КС равны, а поэтому хорды АС и ЕК, между которыми лежат равные дуги АЕ и КС, парал-