Геометрия треугольника и окружности (стр. 1 )

ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ОКРУЖНОСТИ

Начнем с перечня «рабочих» теорем.

1.  Свойства касательных к окружности:

а) радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 1);

 

Рис. 1

б) две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними (рис. 2).

Рис. 2

2.  Измерение углов, связанных с окружностью:

а) центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается (рис.3);

Рис. 3

б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рис. 4);

Рис. 4

в) угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между касательной и хордой (рис.5).

Рис. 5

3.  Теоремы об окружностях и треугольниках:

а) около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности служит точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины;

б) во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности служит точка пересечения биссектрис.

4.  Теоремы об окружностях и четырехугольниках:

а) для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противолежащих углов четырехугольника была равна 180° (, рис.6);

Рис. 6

б) для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противолежащих его сторон были равны ( рис. 7).

Рис. 7

5.  Метрические соотношения в окружности:

а) если хорды АВ и CD пересекаются в точке М, то AMBM = CMDM (рис. 8);

Рис. 8

б) если из точки М к окружности проведены две секущие МАВ и MCD, то AM ВМ = СМ DM (рис. 9);

Рис. 9

в) если из точки М к окружности проведены секущая МАВ и касательная МС, то АМВМ = СМ2 (рис. 10).

Рис. 10

Начнем с рассмотрения ряда несложных задач, иллюстрирующих применение на практике перечисленных «рабочих» теорем.

Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника а и b, гипотенуза с. Вычислим радиус r вписанной окружности.

Решение. 1. Из центра О вписанной окружности проведем радиусы в точки ее касания со сторонами треугольника, учитывая, что они перпендикулярны соответствующим сторонам (теорема 1, а), и отметим пары равных отрезков, воспользовавшись теоремой 1, б (рис.11).

Рис. 11

2. Так как EODC — квадрат (углы Е, D, С— прямые и ЕС = CD), то ОЕ = OD = CD = СЕ = r. Тогда BD = а – r, АЕ = b - r и, соответственно, BF = BD = а – r, AF = АЕ = b –r.

3. Так как АВ =AF + FВ, то получаем с = (b – r) +(a –r), откуда .

Ответ: .

Замечание 1. Если в задаче речь идет об окружности, вписанной в треугольник (или четырехугольник), то практически всегда проводят радиусы в точки касания окружности со сторонами, учитывая, что радиусы будут перпендикулярны соответствующим сторонам, и тут же отмечают на чертеже пары равных отрезков (для двух касательных, проведенных к окружности из одной точки). Так мы и поступили при решении задачи 1.

Замечание 2. Обратите внимание на формулу для вычисления радиуса окружности, вписанной в прямоугольный (только прямоугольный) треугольник. Она довольно проста, ее легко запомнить, что мы вам и советуем сделать. Для непрямоугольного треугольника обычно используют формулу , где S – площадь, р – полупериметр треугольника.

Что касается радиуса R описанной около треугольника окружности, то для прямоугольного треугольника (гипотенуза является диаметром описанной около прямоугольного треугольника окружности); для непрямоугольного треугольника обычно используют формулы и . B правильном треугольнике со стороной а .

Замечание 3. До сих пор мы приводили только формулировки теорем, считая, что их доказательства при необходимости читатель найдет в школьных учебниках. С теоремой синусов поступим по-другому: приведем доказательство теоремы, тем более что оно отличается от традиционного «школьного» доказательства и достаточно красиво (см. задачу 2).

Задача 2. Докажем, что в треугольнике выполняется соотношение .

Решение. Пусть около треугольника ABC описана окружность радиуса R, проведем ее диаметр BD и соединим точку D с точкой С. (рис. 12).

Замечаем, что (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС), BCD = 90° (как опирающийся на диаметр BD). Тогда из BCD находим: т. е. , откуда .

Рис. 12

Задача 3. В равнобедренном треугольнике со сторонами 10, 10 и 12 вычислим радиусы вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

Решение.

I способ вычисления r.

Имеем: (мы воспользовались формулой Герона). Значит,

II способ вычисления r.

Пусть O1 – центр вписанной в треугольник AВС окружности – точка пересечения биссектрис ВН и АО1 (рис. 13). ВН одновременно является высотой и медианой треугольника ABC, . Применив к треугольнику АВН теорему о биссектрисе, получим , т. е. , откуда находим .

Рис. 13

III способ вычисления r.

Пусть О1 – центр вписанной в треугольник ABC окружности, , тогда (рис.14). Из подобия треугольников О1КВ и АВН получаем , т. е. , откуда г = 3.

Рис. 14

I способ вычисленияR .