Геометрия треугольника и окружности (стр. 4 )

3.  Пусть точка О – центр описанной около АВС окружности, ОКАС. Тогда ВН = =2ОК (см. задачу 10).Но ВН – диаметр описанной около треугольника BMP окружности (поскольку опирающийся на него угол ВРН равен 90°), значит, ВН = 3,6 см, а потому ОК = 1,8 см.

4.  Теперь в прямоугольном треугольнике АОК известны две стороны: АО = 3 см (радиус описанной окружности) и ОК = 1,8 см. Тогда АК = (см), следовательно, АС = 4,8 см.

Ответ: 4,8 см.

Задача 12. Дан остроугольный треугольник АВС с углами A= , B= , C = . В каком отношении ортоцентр Н делит высоту, проведенную из вершины А?

Решение.

1. Опишем около треугольника АВС окружность. Радиус окружности обозначим через R (вспомогательный параметр). Проведем ОРВС и учтем, что АН = 2ОР (см. задачу 10), где Н – ортоцентр.

2. Рассмотрим ОРВ (рис. 29). Так как KOB измеряется дугой ВК, ВК = ВС, a CAB измеряется половиной дуги ВС, Рис. 29 то КОВ = CAB = . Тогда ОР = R cos, а потому АН = 2R cos.

3. По теореме синусов, примененной к треугольнику АВС, , значит, , а тогда из получаем, что .

4. Имеем: АН = 2R cos, HD=AD – АН = 2R sinsin – 2R cos = 2R (sinsin –

–cos(180° – ( ))) = 2R (sinsin + cos ( )) = 2R (sinsin + ) = .

Итак,

Ответ: .

Задача 13. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

В частности, если d = 0 (центры окружностей совпадают), то

Эта формула называется формулой Эйлера.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка О1 – центр вписанной окружности. Будем считать пока, что (рис. 30). Проведем биссектрисы АО1 и ВО1 углов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках А1 и В1. Пусть Р и Q – точки пересечения прямой ОО1 с описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд или (*) Заметим теперь, что поскольку АА1 и ВВ1 – биссектрисы Рис. 30 углов А и В, то , а . Следовательно,

Поэтому треугольник О1АВ1 равнобедренный: О1А1 = ВА1. Таким образом, соотношение (*) можно переписать так: (**)

Проведем теперь диаметр А1А2 описанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники А1А2В и О1АК подобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и А2), поэтому или откуда Подставив это выражение в соотношение (**), получим или

В случае (рис. 31) каждая из сторон треугольника АВС равна , а значит этот треугольник равносторонний. Поэтому и, следовательно,

Рис. 31

Задача 14. Стороны треугольника равны , радиусы описанной и вписанной ок-ружностей равны и . Докажите, что

Решение.

Так как для любого треугольника справедливы равенства и , то подставив в левую часть доказываемого равенства вместо и их значения, получим .

Задача 15. Доказать, что основания перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника (или их продолжениям ) из произвольной точки описанной окружности, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симпсона.

Решение.

Пусть D – произвольная точка описанной около треугольника окружности. Обозначим вершины треугольника А, В и С так, чтобы получился четырехугольника ABCD. Так как , то либо и тогда прямой Симпсона будет прямая АС, либо один из этих углов – острый, а другой – тупой. Пусть угол А – острый. Рассмотрим два случая: угол АСD, а значит, и равный ему угол АВD – острый (рис. 32); оба этих угла – тупые (рис. 33) (случай прямых углов рассмотрите самостоятельно). В первом случае основание Р перпендикуляра, проведенного из точки D к прямой АВ, лежит между А и В, основание R перпендикуляра