Геометрия треугольника и окружности (стр. 5 )

Рис. 32 к АС лежит между А и С, а основание Q перпендикуляра к ВС – вне отрезка ВС. Во втором случае все три основания перпендикуляров лежат вне сторон треугольника. Ход рассуждений для этих двух случаев в основном одинаковый. Поэтому доказательство проведем для первого случая, отмечая при необходимости в скобках отличие ситуации во втором случае.

Отрезок AD виден из точек Р и R под прямым углом, поэтому точки Р, R, А и D лежат на окружности с диаметром AD. Следовательно, как углы, вписанные в эту Рис. 33 окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу.

Отрезок CD виден из точек R и Q под прямым углом, поэтому точки R, Q, C и D лежат на окружности с диаметром CD. Следовательно, (во втором случае ).

Но , а поскольку Следовательно,

Из полученных равенств и следует: (во втором случае ). Но это и означает, что точки Р, R и Q лежат на одной прямой.

Задача 16. Докажите, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности (окружности девяти точек), причем центром этой окружности является середина отрезка ОН, где О – центр описанной окружности, Н – точка пересечения высот треугольника.

Решение.

Пусть А1, В1 и С1 – середины сторон ВС, СА и АВ соответственно; А2, В2 и С2 - основания высот; А3, В3 и С3 – середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами. Рассмотрим АВС и CНВ с общим основанием ВС. - средняя линия АВС, следовательно, , - средняя линия CНВ по построению, следовательно, . Тогда , т. е. - параллелограмм. - средняя линия АНВ, следовательно, . - средняя линия САН, следовательно, . Тогда , т. е. - параллелограмм, откуда и , тогда , а, следовательно, - прямоугольник и Аналогично, Так как и , точка А2 лежит на описанной окружности треугольника А1В1С1. Аналогично точки В2 и С2 лежат на описанной окружности треугольника А1В1С1.

Рассмотрим теперь окружность S с диаметром А1А3. Так как и , то , а значит, точка В3 лежит на окружности S. Аналогично доказывается, что точки С1, В1 и С3 лежат на окружности S. Окружность S проходит через вершины треугольника А1В1С1, поэтому она является его описанной окружностью.

При гомотетии с центром Н и коэффициентом описанная окружность треугольника АВС переходит в описанную окружность треугольника А3В3С3, т. е. в окружность девяти точек. Значит при этой гомотетии точка О переходит в центр окружности девяти точек. Центр окружности есть середина отрезка с концами в центре описанной окружности и точке пересечения высот, а радиус вдвое меньше радиуса описанной окружности.

Задача 17. Докажите, что площадь треугольника равна , где – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны а, р – полупериметр треугольника.

Решение.

Если стороны данного треугольника обозначить а, в, с (рис. 34), то

Рис. 34

Задача 18. Если – радиус вписанной окружности треугольника, а – радиусы вневписанных окружностей, то

Решение.

Из задачи 17 очевидно, . Аналогично рассуждая, получим Учитывая, что , получим . Складывая эти равенства почленно, получим т. е. .

Перемножим почленно равенства , и , получим , а т. к. по формуле Герона , то или .

Задачи для самостоятельного решения

1. АВ и CD – взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружности радиуса R. Докажите, что АC2 + BD2 = 4R2.

2. Из точки М проведены к окружности с центром в точке О касательные МА и MB. Прямая l касается окружности в точке С и пересекает МА и MB соответственно в точках D и Е. Докажите, что:

1)  периметр треугольника MDE не зависит от выбора точки С;

2)  угол DOE не зависит от выбора точки С.

3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой l,которая пересекает окружности в точках С и D, Е и М соответственно. Докажите, что сумма углов DBE и САМ равна 180°.

4. В окружность вписан правильный треугольник ABC. На дуге ВС взята произвольная точка М и проведены хорды AM, ВМ и СМ. Докажите, что AM = ВМ + СМ.

5. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, имеет тот же радиус, что и окружность, проходящая через две вершины треугольника и его ортоцентр.

6. В треугольник с периметром 18 см вписана окружность, к ней проведена касательная, параллельная основанию треугольника. Длина отрезка этой касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника, равна 2 см. Найдите длину основания треугольника.

7. Около треугольника ABC описана окружность. Через точку В проведена касательная к окружности до пересечения с продолжением стороны СА за точку А в точке D. Найдите периметр треугольника ABC, если AB+AD=AC, CD = 3,ВАС = 60°.

8. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник ABC. Хорда BD пересекает АС в точке Е так, что АЕ:ЕС = 2:3. Найдите CD.

9. Две окружности радиусов Rиr внешне касаются, к ним проведены две общие внешние касательные АВ иCD (А, В, С, D – точки касания).

1) Найдите длину АВ.

2) Найдите радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник АМВ.

3) Докажите, что треугольник АМВ прямоугольный.

4) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность и найдите ее радиус.

10.  В треугольнике AВС известны стороны АВ = 13, ВС = 14, АС = 15. Найдите АН, где H – ортоцентр.

Ответы

6. 3 см или 6 см. 7. 3 + . 8.. 9. l) ; 2) ; 4) .

10. 8,25 см.