Основы теории цепей (стр. 2 )

Для симметричных четырехполюсников дополнительно выполняется условие

Y11 = Y22,

и число независимых коэффициентов сокращается до двух.

Y-параметры представляют собой входные и передаточные проводимости и, в общем случае, являются комплексными величинами, зависящими от частоты.

Уравнение четырёхполюсника в форме |Z|

Система уравнений четырёхполюсника в данной форме определяет выражение входного и выходного напряжений в зависимости от токов. Разрешая уравнения (1.1) относительно напряжений и , получим

. . (1.3)

Здесь - определитель матрицы Y-параметров четырехполюсника.

В матричной форме уравнения запишутся ,

где - матрица Z-параметров четырехполюсника.

Для уравнений четырёхполюсника в Z-параметрах условия обратимости и симметрии выглядят аналогично уравнениям в Y-параметрах Z12 = Z21, Z11 = Z22.

Z-параметры (также как и Y-параметры) в общем случае комплексные величины, зависящие от частоты. Они имеют размерность сопротивлений и несут определенный физический смысл:

- входное сопротивление со стороны зажимов 1-1’ при разомкнутых зажимах 2-2’;

– передаточное сопротивление при разомкнутых зажимах 2-2’;

- входное сопротивление со стороны зажимов 2-2’ при разомкнутых зажимах 1-1’;

– передаточное сопротивление при разомкнутых зажимах 1-1’.

Уравнение четырёхполюсника в форме |А|

(в параметрах прямой передачи энергии)

При записи уравнений в форме |А| положительное направление токов выбирается согласно рис. 1.5. Выбор именно такого положительного направления тока I2 обусловлен тем, что данная система уравнений соответствует передаче электрической энергии от входных зажимов к выходным. Уравнений в форме |А| выведем из уравнений в форме |Y|. Для этого изменим знак тока в уравнениях (1.1)

Из второго уравнения данной системы следует

.

Подставив в первое уравнение, получим:

Обозначим:

. (1.4)

(В технической и учебной литературе может встречаться различное обозначение коэффициентов уравнений формы |А|, приведенное выше. В дальнейшем будем пользоваться последними обозначениями, которые представляются более удобными. Причем коэффициенты А,В,С и D по умолчанию комплексные.)

С учетом введенных обозначений система уравнений четырехполюсника в форме |А| запишется

. (1.5)

Уравнения в матричной форме

, где - матрица А-параметров.

Как уже отмечалось, коэффициенты А,В,С и D комплексные и зависят от частоты. Физический смысл коэффициентов следующий:

- коэффициент передачи по напряжению при разомкнутых выходных зажимах;

- коэффициент передачи по току при закороченных выходных зажимах;

- величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных зажимах;

- величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных зажимах.

Для обратимого четырехполюсника определитель матрицы А-параметров равен единице. Действительно, с учетом (1.4)

.

В случае обратимого четырехполюсника и, следовательно,

.

Если четырехполюсник симметричный, то из (1.4) не трудно проследить, что при выполняется условие: .

Уравнение четырёхполюсника в форме |В|

(в параметрах обратной передачи энергии)

При обратном подключении четырехполюсника (рис. 1.6), что соответствует передаче энергии от зажимов 2 к зажимам 1, в системе уравнений в форме |Y| (1.1) изменяется направление тока

Выражая уравнения четырехполюсника в форме |В| через коэффициенты формы |А|, получим

(1.6)

Из сопоставления уравнений (1.5) и (1.6) видно, при изменении направления передачи энергии коэффициенты А и D, входящие в системы уравнений меняются местами. Условия обратимости и симметрии одинаковы.

Уравнения четырёхполюсника в смешанных параметрах

Уравнение четырёхполюсника в форме |H|

Система уравнений четырёхполюсника в данной форме определяет выражение величин входного напряжения и выходного тока в зависимости от выходного напряжения и входного тока. Разрешая уравнения (1.1) относительно напряжений и тока получим

.

Введя обозначения

H11 = 1/Y11, H12 = -Y12/Y11, H12 = Y21/Y11, H22 = Y22 – Y21Y12/Y11 = ∆Y/Y11, (1.7)

получим уравнения четырехполюсника форме |H|

. (1.8)

Уравнения в матричной форме ,

где - матрица Н параметров.

Из (1.7) легко проследить условия обратимости (при ) и симметрии (при ):

- условие обратимости;

- условие симметрии.

Уравнение четырёхполюсника в форме |G|

Система уравнений четырёхполюсника в данной форме определяет выражение величин входного тока и выходного напряжения в зависимости от входного напряжения и выходного тока. Разрешая уравнения (1.1) относительно напряжений U2 и тока I1, приходим к следующим уравнениям

.

Введя обозначения:

G11 = Y11 – Y21Y12/Y22 = ∆Y/Y22 ; G12 = Y12/Y22; G21 = -Y21/Y22; G22 =1/ Y22, (1.9)

получим уравнения четырехполюсника форме |G|

. (1.10)

Уравнения в матричной форме,

.

Из (1.9) не трудно проследить условия обратимости (при ) и симметрии (при ):