Основы теории цепей (стр. 9 )

В зависимости от наличия в фильтрах усилительных элементов их разделяют на пассивные, которые состоят только из пассивных элементов (резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек), и активные, содержащие усилительные элементы и пассивные фильтры. Ниже рассматриваются пассивные фильтры.

Условия пропускания реактивного фильтра

Наименьшее число элементов, на основе которых можно построить фильтр, равно двум. Такой фильтр представляет собой Г-образный четырехполюсник. Фильтры на основе Т - и П-образных звеньев могут рассматриваться как каскадное соединение Г-образных четырехполюсников (рис. 1.21). При их согласованном соединении получают симметричные П - или Т-образные четырехполюсники (рис. 2.2).

Рассмотрим основные свойства реактивных фильтров, составленных только из конденсаторов м индуктивных катушек с высокой добротностью. При упрощенном анализе процессов в таких фильтрах активными потерями их элементов можно пренебречь. Поэтому эквивалентная схема такого фильтра будет содержать только идеализированные реактивные элементы – емкости и индуктивности.

Как для Т-образного, так и для П-образного симметричного четырехполюсника согласно (1.64) и (1.65)

. (2.1)

Поскольку мера передачи результирующего четырехполюсника при каскадном соединении определяется суммой мер передач исходных четырехполюсников, то для симметричных Т - и П - образных фильтров, составленных из Г-образных четырехполюсников, на основании (1.52)

. (2.2)

Если четырехполюсник состоит из чисто реактивных элементов одинакового характера, то

.

Согласно (2.2)

.

Разделяя вещественные и мнимые части, получаем

. (2.3)

Так как гиперболический косинус действительно аргумента не может быть равен нулю

(), то на основании (2.3) , а. Следовательно, при одинаковом характере сопротивлений продольных и поперечных ветвей затухание четырехполюсника определится по формуле , т. е. а >0. А поскольку в области частот, определяющих полосу пропускания реактивного фильтра коэффициент затухания должен быть равен нулю, то такой четырехполюсник не является фильтром.

Четырехполюсник обладает свойствами фильтра только в том случае, если реактивные сопротивления его продольных и поперечных ветвей имеют разные знаки, т. е.

.

В этом случае

и, следовательно,

(2.4)

. (2.5)

Уравнение (2.4) удовлетворяется при условиях

, (2.6)

. (2.7)

Условие (2.6) соответствует полосе пропускания, в которой коэффициент затухания равен нулю. В этом случае . Коэффициент фазы фильтра в соответствии с (2.5) в полосе пропускания будет изменяться по закону

. (2.8)

В свою очередь условие (2.7) будет соответствовать полосе задерживания. Из данного условия следует, что и, на основании (2.5), закон изменения затухания в полосе задерживания определится выражением

. (2.9)

Соотношения (2.8) и (2.9) справедливы для Г-образных и симметричных Т - и П-образных фильтров. Для Г-образных звеньев а/2 и b/2 представляют полное собственное затухание и коэффициент фазы. Т - и П-образный фильтры состоят из двух Г-образных, и поэтому их собственное затухание и коэффициент фазы равны соответственно а и b.

Для любого симметричного фильтра в полосе пропускания, где а = 0, выполняется условие

.

Так как косинус изменяется от -1 до +1, то . Или, с учетом (Ф1): . Окончательно получаем

. (2.10)

Последнее неравенство (2.10) называется условием пропускания реактивного фильтра и позволяет найти его частоты среза, которые определяются из уравнений

. (2.11)

Электрические фильтры, у которых параметры элементов, образующих продольную и поперечную ветви Г-образного звена, выбраны таким образом, что отношение комплексного сопротивления к комплексной проводимости не зависит от частоты и равно квадрату некоторого вещественного числа, называют фильтрами типа k.

Обозначим .

На основании (1.49) и (1.51) не трудно проследить, что произведение характеристических сопротивлений входа и выхода Г-образного звена, а следовательно, Т - и П - образных звеньев, также будет равно k2

.

На рис 2.3-2.6 представлены схемы фильтров типа k нижних частот, верхних частот, полосовых и заграждающих на основе Г-, Т - и П-образных звеньев.

Физическое действие таких фильтров легко объяснить частотными свойствами сопротивлений индуктивных и емкостных элементов и резонансными свойствами двухполюсников, состоящих из последовательно и параллельно соединенных индуктивностей и емкостей.

Условие пропускания фильтров типа k можно представить в виде

или .

С учетом того, что , в пределах полосы пропускания коэффициент затухания Т - или П-образного фильтра типа k равен нулю, а за пределами полосы пропускания плавно нарастает в соответствии с выражением

.

Коэффициент фазы в полосе задерживания равен , а в пределах полосы пропускания изменяется по закону

Характеристические сопротивления фильтров типа k определятся соотношениями

. (2.12)

Приведенные выражения справедливы для Г-, Т - и П-образных звеньев. Это означает, что одинаковых значениях k и X1 (или X2), ширина полосы пропускания и характеристическое сопротивление Г-образного фильтра получаются такими же, как и для Т - и П-образного фильтров. Отличие лишь в собственном затухании и коэффициенте фазы, которые при переходе к Т - или П-образному звену по отношению к Г-образному удваиваются.

Частотные характеристики коэффициентов затухания и фазы, а также характеристических сопротивлений рассматриваемых фильтров типа k приведены на рис. 2.7 – 2.10.

Основным достоинством фильтров типа k является их простота. В то же время, как следует из (2.12), в пределах полосы пропускания характеристическое сопротивление Т-образного фильтра изменяется от 0 до k, а характеристическое сопротивление П-образного фильтра от k до ∞. Данное обстоятельство не позволяет согласовать фильтр в пределах всей полосы пропускания, вследствие чего реальные характеристики фильтров типа k существенно отличаются от расчетных. Другим недостатком фильтров данного типа является недостаточная крутизна кривой затухания вблизи частот среза. Для увеличения крутизны кривой затухания приходится применять многозвенные фильтры.

Отмеченные недостатки фильтров типа k в значительной степени устраняются в фильтрах типа m.

Для лучшего согласования нагрузки с фильтром необходимо, чтобы его характеристическое сопротивление было по возможности постоянным в полосе пропускаемых частот. С этой целью изменяют продольную или поперечную ветвь Г-образного фильтра типа k таким образом, чтобы получить новое Г-образное звено, характеристическое сопротивление которого мало изменяется от частоты в пределах полосы пропускания. Второе характеристическое сопротивление данного звена должно остаться равным характеристическому сопротивлению исходного звена типа k, именуемого прототипом. Равенство характеристических сопротивлений нового фильтра (называемого типа m) и прототипа позволяет включать их согласованно и образовывать комбинированные фильтры, сочетающих в себе преимущества фильтров обоих типов.