Инженерная механика (стр. 10 )

Связь между угловыми деформациями определяется соотношением:

, (9.1)

где - длина бруса;

R – радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следовательно .

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах.

В результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого при кручении возникает деформация сдвига, таким образом, в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы τ, образующие крутящий момент. Нормальные напряжения в поперечном сечении не возникают, из-за отсутствия продольной силы.

 

Рисунок 9.1

, (9.2)

где - полярный момент сопротивления.

Данная формула позволяет определять касательные напряжения τ в любой точке круглого поперечного сечения. Максимального значения касательные напряжения достигают у волокон, наиболее удаленных от оси кручения (рисунок 9.2).

 

Рисунок 9.2

Полный угол закручивания по всей длине стержня находятся из выражения:

, (9.3)

где - жесткость при кручении.

9.3 Гипотезы при кручении

1) Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным оси.

2) Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).

3)  Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.

9.4 Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемое. Расчетная формула на прочность имеет вид:

. (9.4)

Допускаемое напряжение при кручении выбирают в зависимости от допускаемого напряжения при растяжении, а именно:

- для сталей

- для чугунов

Кроме прочности к валам предъявляется требование жесткости, заключающееся в том, что угол закручивания 1 метра длины вала не должен превышать определенной величины во избежание, например, потери точности ходовых винтов токарно-винтовых станков.

Допускаемый угол закручивания 1 метра длины вала задается в градусах и обозначается , расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

, (9.5)

где - относительный угол закручивания, .

Величины допускаемых углов закручивания зависят от назначения вала, их обычно принимают в следующих пределах:

град/метр. (9.6)

С помощью представленных формул выполняют три вида расчетов конструкций на прочность и жесткость при кручении – проектный, проверочный и определение допускаемой нагрузки.

9.5 Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса.

Рассмотрим прямой вал круглого поперечного сечения, с левым, жестко защемленным концом, и приложенным к правому свободному концу скручивающим моментом М (рисунок 9.3, а) в заделке возникает реактивный момент противоположного направления.

 

Рисунок 9.3

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечений (рисунок 9.3, б). Под действием скручивающего момента М в произвольном сечении возникает крутящий момент Мк, постоянный по длине стержня.

Закон изменения крутящих моментов по длине стержня изображается графически с помощью эпюры крутящих моментов (рисунок 9.3, в).

Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладываются от оси вверх или вниз, с соблюдением масштаба.

Крутящий момент считается положительным, если моменты внешних сил направлены против часовой стрелке (рисунок 9.4).

 

Рисунок 9.4

К валу может быть приложено несколько скручивающих моментов, например, рассмотрим стержень с распределенными по его длине скручивающими нагрузками (рисунок 9.5). Так как вал и любая его часть находятся в равновесии, то алгебраическая сумма скручивающих моментов, приложенных к каждой части, должна быть равна нулю. Из уравнения равновесия всего стержня определяется реактивный момент в заделке. В поперечном сечении, где приложен вращающий момент, значения крутящего момента меняются скачкообразно.

Рисунок 9.5

10 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

10.1 Напряженное состояние в точке. Сложное деформированное состояние. Гипотезы прочности

Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Как правило, достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, которые принято изображать в виде параллелепипеда (рисунок 10.1).

 

Рисунок 10.1

Положения теории напряженного состояния:

- напряженное состояние в данной точке полностью определено, если известны напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам;

- среди множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, эти площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие на них, называются главными напряжениями σ1, σ2, σ3 (рисунок 10.1).

Одно из этих напряжений - максимальное (σ1), одно – минимальное (σ3).

Классификация видов напряженного состояния производится по главным напряжениям:

- если все три главных напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называют объемным или трехосным (рисунок 10.1, а);

- если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским или двухосным (рисунок 10.1, б);

- если два из главных напряжений (σ2=0) противоположны по знаку, напряженное состояние называют упрощенным плоским состоянием;

- если лишь одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние называют линейным (рисунок 10.1, в).

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.

Сложное деформированное состояние возникает, если деталь подвергается одновременно нескольким простым нагружениям.

Такие состояния возникают в заклепочных соединениях (срез и смятие), в болтовых соединениях (растяжение и скручивание), при поперечном изгибе бруса (изгиб и сдвиг).

Иногда одно из нагружений не учитывается, например, длинные балки рассчитываются только на изгиб, но в ряде случаев нормальные и касательные напряжения имеют один порядок и ими нельзя пренебрегать, в этом случае производится расчет при сложном деформированном состоянии.

Для упрощения расчетов применяют теории прочности. Смысл теорий заключается в замене реального сложного деформированного состояния равноопасным простым.

Опасное состояние может быть вызвано различными факторами: нормальные напряжения могут достигнуть предела текучести или предела прочности, касательные напряжения могут достигнуть опасного значения или накопленная энергия деформирования может стать слишком большой и вызвать разрушение.

Рассмотрим наиболее известные гипотезы прочности.

Первая теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений. Основывается на гипотезе о том, что причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. При этом должно соблюдаться следующее условие:

, (10.1)

где σ1 - величина наибольшего из главных напряжений;

σ0 - предельное напряжение.

При расчете по методу предельных состояний данное условие имеет вид:

, (10.2)