Инженерная механика (стр. 12 )

Выражение (10.20) является уравнением прямой линии, проходящей через начало координат. Положение нейтральной линии можно определить тангенсом угла наклона β к главной оси х:

(10.21)

Максимальные по величине нормальные напряжения находятся в точках, максимально удаленных от нейтральной оси. Наибольшие по величине напряжения возникают в точках С и А (рисунок 10.4, г) и выражаются формулами:

;

(10.22)

10.4 Внецентренное растяжение-сжатие

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной (рисунок 10.5).

В точке А приложен внешний силовой фактор Р, имеющий координаты хр и ур. Приведя силу Р к центру тяжести, получим нормальную сжимающую силу N=P и два изгибающих момента:

- изгибающий момент в плоскости главной оси у, ;

- изгибающий момент в плоскости главной оси х, .

 

Рисунок 10.5

Таким образом, задачу можно свести к расчету бруса на совместное действие продольной силы и косого изгиба.

Напряжение в любой точке сжатой колонны можно определить, используя следующую формулу при обязательном учете знаков х и у:

, (10.23)

где iх и iу – радиусы инерции площади сечения относительно главных осей х и у, определяемые как:

; . (10.24)

Уравнение нейтральной линии можно получить, приравняв к нулю напряжения, то есть:

. (10.25)

Используя данное выражение можно найти отрезки, отсекаемые нулевой линий на осях координат:

- при х=0 ;

- при у=0 .

Как и при косом изгибе, наибольшие напряжения возникают в наиболее удаленной точке от нейтральной линии, то есть в точке К (рисунок 10.5):

. (10.26)

При внецентренном сжатии нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия располагается с противоположной стороны от центра тяжести сечения относительно точки приложения силы, например, если сила приложена во втором квадранте, то нулевая линия пройдет с противоположной стороны центра тяжести через первый, третий и четвертый квадранты (рисунок 10.6).

 

Рисунок 10.6

По мере удаления точки приложения силы от центра тяжести нейтральная линия приближается к центру тяжести. При внецентренном растяжении-сжатии нулевая линия может, как пересекать сечение, так и находиться за его пределами.

В окрестностях центра тяжести существует область, называемая ядром сечения.

Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести и характерная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Если сила расположена за пределами ядра сечения, нулевая линия пересекает сечение, и напряжения будут как растягивающие, так и сжимающие.

Если точка приложения силы находится на границе ядра сечения, то нейтральная линия касается сечения (рисунок 10.7).

 

Рисунок 10.7

10.5 Совместное действие кручения и изгиба

Изгиб с кручением является характерным случаем сложного сопротивления стержней машиностроительных конструкций, например, коленчатых валов, осей и т. п.

Если стержень подвергается одновременному действию изгиба и кручения, то в его поперечных сечениях возникают пять внутренних усилий – два изгибающих момента и , поперечные силы и , а также крутящий момент .

При расчете валов, касательные напряжения от действия поперечных сил не учитываются из-за их незначительности (рисунок 10.8).

 

Рисунок 10.8

При кручении наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от оси бруса, а при изгибе максимальные нормальные напряжения возникают в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси. Таким образом, у вала испытывающего совместное действие кручения и изгиба опасное напряжение возникает в точках наиболее удаленных от оси z.

В каждой точке поперечного сечения вала одновременно возникают:

- нормальные напряжения от изгиба:

; (10.27)

- касательные напряжения от действия поперечных сил не учитываются;

- касательные напряжения от кручения:

. (10.28)

Напряжения и взятые в отдельности, могут оказаться меньше соответствующих им допускаемых напряжений, но одновременное их действие может быть весьма опасным для вала.

Для проверки прочности элемента, у опасной точки воспользовавшись третьей или энергетической теориями прочности, получим соответственно:

;

(10.29)

.

Значения подкоренных выражений в числителях данных формул называются эквивалентными моментами и обозначаются .

Таким образом, условие прочности можно представить в виде:

. (10.30)

При пространственном нагружении вала в его сечениях в вертикальной и горизонтальной плоскостях, кроме крутящего момента возникают и изгибающие моменты и .

Таким образом, при пространственном нагружении вала в случае использования третьей или энергетической гипотез прочности расчет валов ведется как на изгиб, но не по изгибающему моменту, а по эквивалентному, в результате получим следующие выражения:

;

(10.31)

.

11 УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

11.1 Общие сведения

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил.

Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние) называют критическими.

Потеря устойчивости сопровождается возникновением дополнительных напряжений изгиба в поперечных сечениях стержней и является опасным для всей конструкции в целом. Таким образом, для надежной работы конструкции содержащей сжатые стержни, кроме условий прочности и жесткости необходимо выполнение условия устойчивости.

Существует три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчивое.

Устойчивым - называется такое равновесие, при котором тело после малого отклонения и при устранении воздействия вызвавшего это отклонение возвращается в исходное положение (рисунок 11.1, а).

Безразличным – называется такое равновесие, когда тело после отклонения остается в равновесии и в новом положении (рисунок 11.1, б).

Неустойчивым – называется такое равновесие, когда тело при малом отклонении не возвращаются в исходное положение, а наоборот удаляется от него (рисунок 11.1, в).