Инженерная механика (стр. 13 )

Рисунок 11.1

Наибольшее значение центрально-приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня являлась устойчивой, называется критической силой.

При сжимающей силе меньше критической, стойка работает на сжатие, при силе больше критической стрежень работает на совместное действие сжатия и изгиба.

В реальных конструкциях критическое состояние недопустимо, так как оно приводит к разрушению системы.

11.2 Определение критической силы

Впервые решение задачи по вычислению критической силы было предложено Эйлером в 1744 году.

Для стержней с различными видами закрепления концов формула Эйлера имеет вид:

, (11.1)

где Е – модуль упругости материала стержня;

Jmin – минимальный момент инерции поперечного сечения стойки;

μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рисунок 11.2);

ℓ – длина стойки;

μ·ℓ – приведенная длина стержня.

 

11.3 Критическое напряжение. Гибкость стержня.

Пределы применимости формулы Эйлера

Нормальные напряжения соответствующие критической силе, называются критическими и определяются как:

, (11.2)

где - минимальный радиус инерции.

Отношение приведенной длины к минимальному радиусу инерции является гибкостью стержня:

. (11.3)

Гибкость – это безразмерная величина, которая характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости. Чем больше гибкость, тем меньше сопротивляемость стойки потере устойчивости. Гибкость λ, не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой, размерами сечения и условиями закрепления.

Таким образом, формулу для определения критического напряжения при продольном изгибе можно представить в виде:

. (11.4)

Данное выражение применимо только в пределах закона Гука, когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стойки σпц , то есть, при условии:

. (11.5)

Гибкость, при которой , называется предельной гибкостью и обозначается :

. (11.6)

Применимость формулы Эйлера определяется выполнением следующего условия:

. (11.7)

График зависимости от для стержней из пластичного материала (сталей) представлен на рисунке 11.3.

Стержни условно делятся на три группы:

- стержни большой гибкости (), для которых применима формула Эйлера;

- стержни средней гибкости ();

- стержни малой гибкости ().

Для стоек средней гибкости критическое значение можно найти, используя эмпирическую формулу Ясинского:

, (11.8)

где а, в, с – коэффициенты, зависящие от свойств материала (для сталей, сплавов, дерева с=0, а для чугуна с≠0).

Для стержней малой гибкости (коротких стержней), у которых , разрушающихся не в результате потери устойчивости, а в результате потери прочности при сжатии, критическое напряжение при этом равно пределу текучести, т. е.

. (11.9)

11.4 Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стоек – проектный, проверочный и силовой.

Проектный расчет, при котором определяется минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня по формуле:

, (11.10)

где Р – действующая нагрузка;

[ny] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Проверочный расчет, при котором определяется действительный коэффициент запаса устойчивости ny и сравнивается с допускаемым, при этом используется следующее выражение:

. (11.11)

К примеру, коэффициент запаса устойчивости для различных материалов составляет:

- для сталей ny=1,8÷3,0;

- для чугуна ny=5,0÷5,5;

- для дерева ny=2,8÷3,2.

Силовой расчет – это определение допускаемой нагрузки [P] формуле:

. (11.12)

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие, при применении следующего выражения:

, (11.13)

где - допускаемое напряжение на сжатие;

- коэффициент продольного изгиба, зависящий от гибкости и свойств материала стойки, данный коэффициент всегда меньше единицы . Первоначальное значение данного коэффициента при расчетах принимается 0,5 - 0,6.

12 ИНЕРЦИОННОЕ И УДАРНОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК

12.1 Понятие о динамических нагрузках

Ранее рассматривался расчет элементов конструкций на действие статических нагрузок, которые являются постоянными во времени или изменяются в процессе нагружения настолько медленно, что возникающие при этом силы инерции незначительны и их можно было не учитывать.

Нагрузки, быстро изменяющиеся в процессе деформирования, вызывают перемещения элементов конструкций с ускорениями, в результате чего возникают инерционные силы, которые необходимо учитывать в расчетах. Такие нагрузки, а также вызываемые ими перемещения, деформации и напряжения, называются динамическими.

К динамическим относятся нагрузки, вызывающие колебания и вибрации, создаваемые различными двигателями, станками, механизмами, а также нагрузки, возникающие при движении тела с ускорением, к динамическим также относятся и ударные нагрузки.

При расчете конструкций на действие динамических нагрузок часто используется известный принцип Даламбера, согласно которому движущуюся с ускорением систему можно в каждый момент времени рассматривать как находящуюся в состоянии покоя, если к внешним силам, действующим на систему, добавить силы инерции.

При решении задач сопротивления материалов динамические перемещения , деформации и напряжения , возникающие от действия динамической нагрузки , могут быть найдены путем умножения соответствующих статических перемещений , деформации и напряжения , возникающих от статического действия той же нагрузки , на так называемый динамический коэффициент :

, , , . (12.1)

Величина динамического коэффициента зависит от вида нагрузки, геометрических размеров, массы, материала сооружения и ряда других факторов.

12.2 Ударное действие нагрузки

Под ударной понимается нагрузка, которая за весьма короткий промежуток времени достигает значительной величины. Удар может быть упругим и неупругим; в последнем случае ударяющее тело не отскакивает от ударяемой упругой системы, а продолжает двигаться вместе с ней. При ударе за очень малый промежуток времени (доли секунды) происходит резкое изменение относительной скорости соударяющихся тел. В результате чего возникают значительные ударные или мгновенные силы. Возникающее между телами динамическое давление равно силе инерции ударяющего тела:

, (12.2)