Инженерная механика (стр. 3 )

Существуют упругие деформации, которые исчезают после прекращения действия вызвавших их сил, а также пластические или остаточные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки.

В сопротивлении материалов изучаются следующие вилы деформации: растяжение или сжатие; сдвиг или срез; кручение и изгиб.

Растяжение или сжатие (рисунок 1.1) возникает при приложении к стержню вдоль его оси противоположно направленных сил.

 

Рисунок 1.1

, (1.1)

где - среднее относительное удлинение (укорочение);

∆ℓ - абсолютное удлинение (укорочение).

Сдвиг (срез) (рисунок 1.2) – возникает при смещении двух плоских параллельных сечений стержня одно относительно другого при неизменном расстоянии между ними.

 

Рисунок 1.2

Кручение (рисунок 1.3) возникает при воздействии на стержень внешних сил образующих момент относительно его оси. Деформация кручения сопровождается поворотом поперечных сечений стержня друг относительно друга вокруг его оси.

 

Рисунок 1.3

Изгиб (рисунок 1.4) – искривление оси прямого стержня или изменение кривизны кривого стержня. В прямых стержнях перемещения точек, направленные перпендикулярно к начальному положению оси называются прогибами и обозначаются -w, а наибольшие прогибы -¦.

 

Рисунок 1.4

При изгибе также происходит поворот сечений стержня вокруг осей, углы поворота обозначаются - j.

В процессе работы машин и сооружений их узлы и детали воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, вызывающие изменение внутренних сил и деформации узлов и деталей.

Силы, воспринимаемые элементами конструкций могут быть объемными и поверхностными. Объемными - считаются силы, приложенные ко всем точкам тела, к примеру, собственный вес (Н/м3). Поверхностные – это силы, приложенные к поверхности тела на некоторой его площади или длине (снеговая нагрузка, давление ветра на стены и т. п.).

Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенной считается сила, приложенная к элементу конструкции в одной точке, (Н). К распределенным относятся силы, которые непрерывно распределены по некоторой площади или длине элемента (Н/м2).

По времени действия нагрузки распределяются на постоянные и временные. Постоянной считается нагрузка, которая действует на элемент конструкции в течение всего периода эксплуатации. Временной считается нагрузка, действующая только в течение некоторого промежутка времени.

По характеру действия нагрузки подразделяют на статические и динамические. Статическими называются нагрузки, числовое значение, направление и место приложения которых остаются постоянными или меняются медленно и незначительно. Динамическими называются нагрузки, характеризующиеся быстрым изменением во времени их значения, направления или места приложения. К динамическим относятся ударные, внезапно приложенные и повторно-переменные нагрузки.

1.4 Формы элементов конструкций

При большом разнообразии конструктивных элементов, встречающихся в сооружениях и машинах их можно свести к небольшому числу основных форм (объектов), таким как: стержни, пластины (оболочки) и массивные тела.

Стержень или брус (рисунок 1.5) – тело, у которого длина значительно превышает два других (поперечных) размера. Стержни бывают криволинейные, постоянного поперечного сечения и ступенчатые.

 

Рисунок 1.5

Пластина (оболочка) (рисунок 1.6) – любое тело, у которого толщина значительно меньше других размеров.

 

Рисунок 1.6

Тела, у которых все три размера одного порядка называются массивными телами (рисунок 1.7).

 

Рисунок 1.7

2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТРЕЖНЕЙ

2.1 Статические моменты, центр тяжести и моменты инерции

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение стержня) связанную с системой координат хОу (рисунок 2.1). Выделим в плоскости фигуры элемент площади dF и определим основные геометрические характеристики поперечных сечений, используемые при расчете стержней на прочность и жесткость.

 

Рисунок 2.1

Статический момент – произведение элемента площади dF на расстояние у от оси х или расстояния х относительно оси у.

. (2.1)

Размерность статического момента – единицы длины в кубе (см3).

Ось относительно, которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести равен нулю. Формулы для определения центра тяжести можно записать в виде:

, ; (2.2)

где F – площадь фигуры.

При вычислении статических моментов сложной фигуры, ее необходимо разбить на простейшие (рисунок 2.2), для каждой из которых известны площадь Fi и положение центра тяжести (xi; уi).

 

Рисунок 2.2

Статические моменты всей фигуры относительно осей х и у равны:

, .

(2.3)

Координаты центра тяжести сложной фигуры определяются по следующим формулам:

, . (2.4)

Осевым или экваториальным, моментом инерции площади фигуры называется интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси.

. (2.5)

Полярным моментом инерции площади фигуры относительно данной точки (полюса О) называется интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний r от полюса.

. (2.6)

Величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции называется интеграл произведений элементарных площадок на их расстояния от координатных осей х и у .

. (2.7)

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции.

Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени (см4).

2.2 Моменты инерции относительно параллельных осей

Рисунок 2.3

Формулы моментов инерции относительно параллельных осей могут быть представлены в следующем виде (рисунок 2.3):

, , . (2.8)

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.