Инженерная механика (стр. 6 )

где [σ] - допускаемое напряжение;

σпред – предельное напряжение;

[Sпр] - допускаемый коэффициент запаса прочности.

Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от каче­ства материала, условий работы и назначения детали, точно­сти обработки и расчета.

При испытаниях на сжатие можно выделить следующие особенности поведения материалов:

1) пластичные материалы практически одинаково работают при растяжении и сжатии. Механические характеристики при ра­стяжении и сжатии одинаковы;

2) хрупкие материалы обладают большей прочностью при сжатии, чем при растяжении.

Расчеты на прочность ведутся по условиям прочности – неравенствам, выполнение которых гарантирует прочность детали при данных условиях.

Для обеспечения прочности расчетное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения:

(4.18)

Расчетное напряжение σ зависит от нагрузки и размеров попе­речного сечения, допускаемое только от материала детали и усло­вий работы.

Существуют три вида расчета на прочность.

1) Проектировочный расчет — задана расчетная схема и нагрузки; материал или размеры детали подбираются:

- определение размеров поперечного сечения:

. (4.19)

- подбор материала:

. (4.20)

по величине σпред можно подобрать марку материала.

2) Проверочный расчет — известны нагрузки, материал, размеры детали; необходимо проверить, обеспечена ли прочность.

Проверяется неравенство

. (4.21)

3) Определение нагрузочной способности (максимальной нагрузки):

(4.22)

4.5 Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми системами называются конструкции, в элементах которых усилия не могут быть определены из уравнений статики (рисунок 4.6). Кроме уравнений статики для расчета таких систем необходимо использовать уравнения учитывающие деформации элементов конструкций.

Все статически неопределимые конструкции имеют дополнительные, так называемые «лишние» связи, в виде закреплений, стержней, либо других элементов. Лишними такие связи называются только потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции, и ее геометрической неизменяемости, хотя установка и диктуется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жесткости конструкции лишние связи могут оказаться необходимыми.

Разница между числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число лишних неизвестных, или степень статической неопределимости конструкции. При одной лишней неизвестной система называется один раз статически неопределимой, при двух – дважды статически неопределимой и т. д., конструкции показанные на рисунках 4.6 а, б, г, д, е являются один раз статически неопределимыми, а конструкция представленная на рисунке в – дважды статически неопределимая.

Рисунок 4.6

Решение статически неопределимых задач проводят в четыре этапа.

1) Статическая сторона задачи. Составляются уравнения равновесия отсеченных элементов конструкций, содержащие неизвестные усилия.

2) Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаются связи между деформациями или перемещениями отдельных элементов конструкций. Полученные уравнения называются уравнениями совместности деформаций.

3) Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражают деформации элементов конструкции через действующие в них неизвестные усилия.

4) Синтез. Решая совместно полученные уравнения, находим неизвестные усилия.

5 ИЗГИБ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

5.1 Общие понятия об изгибе балок

Во многих конструкциях в большом количестве встречаются элементы, работающие на изгиб. Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называют балками (рисунок 5.1).

где а) – балка в естественном состоянии (без нагрузки);

б) – система изогнутая двумя парами, приложенными по концам;

в) – изгиб балки под действием силы Р.

Рисунок 5.1

Изображенный на боковой поверхности балки прямоугольник m n m1 n1 (рисунок 5.1, а) после деформации превращается в фигуру, близкую к трапеции, с двумя прямолинейными сторонами m m1 и n n1 и двумя криволинейными сторонами m n и m1 n1 (рисунок 5.1, б). Нижние волокна при этом удлиняются, а верхние укорачиваются.

В зависимости от способов приложения нагрузки и закрепления стержней возникают различные виды изгиба. В случае, когда изгибающий момент в поперечном сечении балки является единственным силовым фактором, а все остальные равны нулю, то изгиб называется чистым (рисунок 5.1, б).

Если кроме изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают также и поперечные силы, а нормальная сила при этом равна нулю, то такой изгиб называется поперечным (рисунок 5.1, в).

Если все силы, в том числе и опорные реакции, лежат в одной плоскости, совпадающей с осью симметрии сечения, то ось изогнутой балки также лежит в этой плоскости, и такой изгиб называют плоским.

5.2 Внешние и внутренние силы при изгибе. Дифференциальные

зависимости между М, Q и q

Внешними силами называются силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами.

Поверхностные силы – это силы возникшие путем взаимодействия данного тела с другими телами и они приложены, только к точкам поверхности тела в месте контакта, такие силы могут быть распределены непосредственно по всей поверхности тела или ее части.

Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади, называется интенсивностью нагрузки и имеет размерность кН/м2, (рисунок 5.2, а).

Весьма часто, распределенную по поверхности нагрузку приводят к главной плоскости, в результате получается распределенная по линии нагрузка, которая называется погонной нагрузкой, обозначается через q и имеет размерность кН/м, (рисунок 5.2, б).

Рисунок 5.2

Равнодействующая распределенной нагрузки численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тяжести.

Если нагрузка распределена на небольшой части поверхности тела, то ее всегда заменяют равнодействующей, которая называется сосредоточенной силой Р (кН). Кроме того, встречаются нагрузки представленные в виде момента М (кН∙м).

В настоящее время рассматриваются силы, действующие на балку и образующие систему параллельных сил, лежащих в одной плоскости и пересекающих ось балки под прямым углом.

Для определения внутренних силовых факторов в произвольном поперечном сечении, необходимо рассечь балку на две части плоскостью, перпендикулярной оси балки (рисунок 5.3).

 

Рисунок 5.3

При поперечном изгибе во всех сечениях балки нормальная сила равна нулю, а внутренние силы сводятся к изгибающему моменту и поперечной силе.

На рисунке 5.4, а представлена изогнутая балка с деформацией изгиба, сопровождаемая растяжением одних волокон и сжатием других, в данном случае: верхние сжимаются, а нижние удлиняются.

а)

б)

Рисунок 5.4

Установим следующее правило знаков: изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон. Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент по ходу часовой стрелки.

На рисунке 5.4, б показана балка, которая двумя сечениями, проведенными нормально к оси, разрезана на три части. Действие изгибающего момента и поперечной силы на эти три части показано в положительном направлении.

Изгибающий момент Мх и поперечная сила Qу и интенсивность внешней нагрузки q связаны определенной зависимостью. Вырежем из балки, загруженной равномерной нагрузкой q, изменяющейся по какому-либо закону (рисунок 5.5, а), элемент длиной dх (рисунок 5.5, б). Нагрузку считают положительной, если она направлена кверху; на протяжении длины dх она является равномерно распределенной.

а) б)

Рисунок 5.5

(5.1)

Первые две зависимости используются для проверки правильности построения эпюр моментов и поперечных сил.

5.3 Основные типы балок и опорных связей.

Определение опорных реакций

Балками называются прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопромате термин «балка» значительно шире, чем в обычном употреблении данного слова: с точки зрения расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является не только строительная балка, но также вал, болт, ось железнодорожного вагона, зуб шестерни и т. п.