Инженерная механика (стр. 14 )

где m – вес ударяющего тела;

а – ускорение;

g – ускорение свободного падения.

Однако, для нахождения величины силы данная формула неприменима, так как невозможно определить время удара и ускорение. В связи с эти в приближенной теории удара при определении динамического коэффициента используется энергетический принцип, основанный на законе сохранения энергии.

Элементы стержневых конструкций, подвергающихся удару, могут испытывать различные виды деформаций: сжатие (рисунок 12.1, а), изгиб (рисунок 12.1, б), изгиб с кручением (рисунок 12.1, в) и другие.

 

Рисунок 12.1

Для упрощения расчетов в приближенной теории удара вводится ряд допущений:

1)  предполагается, что ударяющее тело не отскакивает от ударяемого тела и после удара оба тела движутся совместно;

2)  местные деформации, возникающие в телах в области их контакта при ударе и приводящие к некоторому смягчению последнего, не учитываются, что идет в запас прочности;

3)  предполагается, что в ударяемом теле возникают только упругие деформации и справедлив закон Гука.

В некоторый момент времени скорость перемещения двух совместно движущихся тел становится равной нулю. В этот момент динамическая сила и возникающее от ее действия динамическое перемещение ударяемого тела в точке удара достигает наибольших значений. Затем происходят затухающие колебания, и наступает состояние статического равновесия, при котором перемещение в точке удара становится равным его значению при статическом действии силы Р=m, равной весу падающего груза.

Наибольшее перемещение, вызываемое действием ударной нагрузки, равно произведению коэффициента динамичности на перемещение от статической нагрузки (в данном случае силы тяжести падающего груза):

. (12.3)

На основании линейной зависимости (по закону Гука) между силами и перемещениями, формулу для определения динамического напряжения можно записать как:

. (12.4)

Динамический коэффициент вычисляется из выражения:

. (12.5)

Определение перемещений и напряжений при ударе сводится, к определению перемещений и напряжений, вызванных статически приложенной силой, равной силе тяжести падающего груза, и вычислению коэффициента динамичности.

Представленные формулы справедливы как для случая продольного (осевого) удара по стержню, так и для случая поперечного удара по балке.

12.3 Напряжения при движении конструктивных

элементов с ускорением с учетом сил инерции

Определим усилие, возникающее в тросе подъемника при подъеме тела весом m (рисунок 12.2). Рассмотрим расчет троса при подъеме груза весом m с ускорением а. Вес 1 метра троса обозначим через q (кН/м). Если груз неподвижен, то в произвольном сечении каната nn' возникает статическое усилие от веса груза и каната, определяемое из условия равновесия нижней отсеченной части:

(12.6)

При подъеме груза с ускорением а для вычисления натяжения каната необходимо составить уравнение движения груза. Для этой цели с сопротивлении материалов используется весьма известный из теоретической

 

Рисунок 12.2

механики принцип Даламбера. Согласно этому принципу движущуюся систему можно рассматривать как находящуюся в равновесии, если ко всем ее точкам присоединить дополнительные силы инерции.

Сила инерции численно равна произведению массы на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению.

С помощью принципа Даламбера любая задача по форме решения может быть сведена к более простому виду (статическому), то есть к составлению уравнений равновесия.

В данном рассматриваемом случае, для которого составляются уравнения равновесия, суммарная сила инерции Рин будет равна:

(12.7)

где m – вес груза;

q – вес 1 метра троса;

g – ускорение свободного падения;

a - ускорение при подъеме груза.

Полное значение усилия NД определяется равенством:

(12.8)

или

(12.9)

Динамическое напряжение равно:

(12.10)

Величина динамического коэффициента определяется выражением:

(12.11)

Таким образом, при подъеме груза с ускорением а динамическое напряжение может в несколько раз превысить статическое. Так, например, в скоростных лифтах, где большая скорость подъема может быть достигнута только благодаря большим ускорениям, динамическое напряжение бывает очень существенным. Расчет тросов в этом случае должен производиться с учетом динамического действия нагрузок.

Если груз опускать с ускорением а, то в формуле динамического коэффициента необходимо ставить знак «-». При свободном падении груза ускорение равно:

(12.12)

поэтому натяжение в канате равно нулю. Канат следует за падающим грузом без какого либо натяжения.

13 ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕННИЯХ, ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

13.1 Явление усталости

Все ранее рассмотренные темы связаны с расчетами на прочность элементов под действием статических нагрузок. При этом считается, что прочность конструкции или системы обеспечена, если максимальные возникающие напряжения в опасных сечениях не превышают допускаемых значений.

Нагрузки, которые изменяются не только по величине, но и по направлению, называются знакопеременными. Снижение прочности от действия знакопеременных нагрузок называется усталостью. Напряжения, возникающие от действия знакопеременных нагрузок, являются циклически изменяющимися во времени. В этих случаях разрушение детали наступает при напряжениях значительно меньших предельно допускаемых значений, например, валы, оси, зубчатые колеса, шкивы, подшипники и так далее.

После усталостного разрушения поверхность излома имеет две зоны (рисунок 13.1):

- зона 1, имеющая мелкозернистую структуру и блестящую поверхность;

- зона 2, имеющая крупнозернистую структуру и шероховатую, матовую, характерную для хрупкого разрушения поверхность.

 

Рисунок 13.1

При работе детали в условиях переменных напряжений в материале возникают микротрещины, которые, постепенно проникают вглубь. По мере развития трещины поперечное сечение ослабляется, и в некоторый момент происходит мгновенное разрушение детали.

Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжений от заданной нагрузки без разрушения называется сопротивлением усталости или выносливостью.

13.2 Виды циклов напряжений

Совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения называют циклом напряжений. Параметрами цикла являются:

максимальное напряжение цикла , минимальное напряжение цикла , среднее напряжение , амплитудное напряжение (рисунок 13.2), а также коэффициент асимметрии цикла .

Цикл напряжений полностью определяется любыми двумя параметрами.

 

Рисунок 13.2

В зависимости от величины коэффициента асимметрии, циклы разделяют на симметричные, отнулевые и асимметричные, на знакопеременные и знакопостоянные (рисунок 13.3).

 

Рисунок 13.3

Симметричный цикл имеет место, например, при изгибе вращающихся валов и осей, все остальные циклы – асимметричные.

При R= -1 цикл называют симметричным.

При R=0 цикл называют отнулевым. Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии, называются подобными.

Если напряжения за цикл изменяются только по абсолютному значению, то цикл называется знакопостоянным.

Цикл с R=1 называют постоянным, он соответствует статическому нагружению.

В случае переменных касательных напряжений остаются в силе все выше приведенные термины и соотношения, при соответствующей замене σ на τ.

13.3 Предел выносливости. Кривая усталости

Наибольшее напряжение от действия знакопеременных нагрузок, при котором материал, не разрушаясь, выдерживает определенное число циклов, называют пределом выносливости и обозначают σR, где R – коэффициент асиммметрии цикла (ввиду рассеяния результатов под σR понимают среднее значение).