Инженерная механика (стр. 9 )

Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по правилу знаков для изгибающих моментов.

Положительное значение у обозначает прогиб верх, а положительное значение означает поворот сечения против часовой стрелки и наоборот.

При использовании обобщенных уравнений необходимо знать, что:

- для балки, жестко защемленной левым концом, и ;

- для балки, левый конец которой лежит на опоре, , а для определения следует составить уравнение прогибов для второй опоры и приравнять его к нулю;

- в сечении с максимальным прогибом, угол поворота сечения , т. к. в этой точке упругой линии касательная параллельна оси z.

Допускаемую величину прогиба задают в долях пролета ℓ, к примеру, для мостов:

. (7.4)

Допускаемый угол поворота сечения радиан. Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормальной работы роликовых подшипников и подшипников скольжения.

8 СДВИГ (СРЕЗ) и СМЯТИЕ

8.1 Напряжения и деформации при сдвиге

Чистый сдвиг – это такой случай плоского напряженного состояния, при котором может быть выделен элементарный параллелепипед с боковыми гранями, находящимися под действием одних лишь касательных напряжений (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1

Деформация сдвига состоит в том, что под действием внешних сил первоначальная форма выделенного элемента искажается.

Величина ∆dx называется абсолютным сдвигом.

Угол γ – мера деформации сдвига и называется углом сдвига или угловой деформацией.

Касательные напряжения и угол сдвига в пределах упругих деформаций связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью, называемой законом Гука:

, (8.1)

где G – модуль сдвига, единицы измерения – МПа.

Для одного и того же материала между модулем упругости Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона μ существует следующая зависимость:

. (8.2)

При сдвиге внутренним силовым фактором является поперечная сила Q, которая вызывает касательные напряжения:

. (8.3)

Уравнение (8.3) является расчетным уравнением на сдвиг.

При расчетах принимают:

- для хрупких материалов ;

- для пластичных материалов .

8.2 Смятие. Допускаемые напряжения на смятие

Деформация смятия представляет собой разновидность деформации сжатия при действии сжимающей силы на небольшой площади элемента. Возникающие при этом местные напряжения называют напряжениями смятия.

Напряжения на смятие для соприкасающихся элементов, выполненных из разных материалов, проверяют для более «мягкого», используя следующее выражение:

, (8.4)

Обычно принимается .

8.3 Практические расчеты на срез и смятие

На практике на сдвиг (срез, скалывание) и смятие рассчитывают крепежные и соединительные элементы частей машин и конструкций: заклепки, болты, шпильки, шпонки, сварные швы, врубки и т. п.

Практические расчеты носят условный характер и основываются на трех допущениях:

1) в поперечном сечении возможного среза детали возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила Q;

2) касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределены по сечению неравномерно;

3) если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (болтами, заклепками и др.), то считается, что все они нагружены одинаково.

8.3.1  Заклёпочные соединения.

Простейшим заклепочным соединением является стык листов, осуществляемый внахлестку: односрезная заклепка (рисунок 8.2, а), двухсрезная (рисунок 8.2, б)

 

Рисунок 8.2

Из условия прочности можно произвести три вида расчетов.

1) Проектный (определение требуемого числа заклепок z).

Из условия прочности на срез:

, (8.5)

где P – сила взаимодействия между деталями;

d – диаметр окружности сечения;

n – количество срезаемых плоскостей;

[τcp] - допускаемое касательное напряжение.

Из условия прочности на смятие:

, (8.6)

где h – наименьшая высота соединяемых пластин;

- допускаемое нормальное напряжение на смятие.

При данном расчете диаметры заклепок обычно заданы. Из двух значений, определенных по формулам (8.5 и 8.6) принимается наибольшее и округляется до целого числа.

2) Определение допускаемой нагрузки.

Из расчета на срез:

. (8.7)

Из расчета на смятие:

. (8.8)

Безопасной для соединения является наименьшая из вычисленных нагрузок.

3) Проверка прочности.

Расчет на срез:

. (8.9)

Расчет на смятие:

. (8.10)

Примечание: если заклепка соединяет листы разной толщины, то для расчета используется наименьшая толщина.

8.3.2  Сварные соединения.

Сварные соединения являются наиболее прочными. Применение сварки способствует повышению технологичности и снижению металлоемкости.

Недостатки сварных соединений:

- наличие значительных остаточных напряжений;

- возможность искривления;

- изменение структуры материала;

- дефекты сварки (непровары, трещины, шлаковые включения).

Сварные соединения бывают стыковые, нахлесточные, тавровые и угловые (рисунок 8.3).

 

Рисунок 8.3

Сварные соединения в зависимости от вида рассчитывают на растяжение – стыковые и на срез – выполненные в нахлестку.

В стыковом соединении формы и размеры шва характеризуются высотой «усиления» δ (рисунок 8.4).

Рисунок 8.4

Стыковые швы рассчитывают на прочность без учета утолщения шва, т. е.

, (8.11)

где Р – растягивающая сила;

ℓш – длина стыкового шва;

h – толщина свариваемых элементов или высота шва.

Нахлесточные соединения при действии растягивающей силы рассчитывают на срез (рисунок 8.5).

 

Рисунок 8.5

. (8.12)

9 КРУЧЕНИЕ. ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ ПРИ КРУЧЕНИИ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ

9.1 Основные понятия о кручении вала

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении вала возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Мкр, а нормальная сила, изгибающие моменты и поперечные силы равны нулю.

Кручению подвергаются многие детали машин и сооружений: валы двигателей и станков, оси моторных вагонов и локомотивов, элементы пространственных конструкций и т. п. Совместно с кручением элементы машин и сооружений иногда испытывают изгиб или сжатие. Характер деформации скручиваемого стержня в значительной степени зависит от формы его поперечного сечения. Среди стержней с различными формами поперечного сечения, подвергаемых кручению особое место занимают стержни с круглым или кольцевым сечением, имеющие наибольшее распространение в технике.

Крутящий момент в любом сечении вала численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, действующих на вал по одну сторону от рассматриваемого сечения. Размерность крутящего момента - кН·м.

9.2 Деформации и напряжения при кручении круглого бруса

Деформации кручения возникают при нагружении бруса парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. Моменты этих пар называют вращающими или скручивающими, и обозначаются М. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ, называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачиваются на угол φ, называемый полным углом закручивания цилиндра (угол поворота сечения), (рисунок 9.1). Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.