Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 2 )

Положим x = 0 и x = –1, получим два уравнения:

Приравнивая коэффициенты при x2 слева и справа в уравнении (2), получим и третье уравнение:

Итак, имеем систему уравнений относительно A, B, C:

. #

Пример 8. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом – правильная рациональная дробь. Знаменатель имеет следующие корни: x1 = 1 – простой действительный, – пара простых комплексных сопряженных. Подынтегральная дробь разлагается на элементарные следующим образом:

(3)

Полагая x = 1 и приравнивая коэффициенты при x2 и x0 слева и справа в равенстве (3), будем иметь систему уравнений:

. #

Пример 9. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом стоит иррациональная функция вида:

.

Здесь a = 2; b = –1; c = 0; d = 1; ; . Сделаем подстановку , т. к. 4 – наибольший знаменатель дробей и , следовательно, , . Отсюда , . Тогда

. #

Пример 10. Найти интеграл .

Ñ Сделаем подстановку , тогда , , .

. #

Замечание: Если интеграл находится с помощью какой-либо подстановки (заменой переменной), то в конце нужно обязательно вернуться к старой переменной.

Пример 11. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

Ñ Дан несобственный интеграл I рода. Он определяется как предел соответствующего определенного интеграла:

.

Так как предел получился конечный, то интеграл сходится. #

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

Ñ Дан несобственный интеграл I рода. Определим его как предел соответствующего определенного интеграла:

.

Следовательно, интеграл расходится. #

Пример 13. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

Ñ Данный несобственный интеграл определяется как сумма двух интегралов:

.

Если сходятся оба интеграла, то сходится и данный интеграл. Если же хотя бы один из интегралов, стоящих справа расходится, то расходится и данный интеграл. Сходимость или расходимость данных интегралов рассмотрена в примерах 11 и 12. #

Пример 14. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Ñ Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, так как подынтегральная функция при является неограниченной, и определяется как предел соответствующего определенного интеграла:

.

Интеграл расходится. #

Пример 15. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Ñ Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, так как подынтегральная функция является неограниченной в верхнем пределе, т. е. в точке . По определению

.

Интеграл сходится. #

Пример 16. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Ñ Подынтегральная функция является неограниченной в точке , которая является внутренней для промежутка интегрирования, поэтому данный интеграл определяется как сумма двух несобственных интегралов II рода, а именно:

.

Если сходятся оба интеграла, стоящие справа, то сходится и интеграл слева. Если же хотя бы один из интегралов, стоящих справа расходится, то расходится и данный интеграл. Сходимость или расходимость интегралов, аналогичных данным интегралам, рассмотрена в примерах 14 и 15. #

Пример 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Ñ Кривая (локон Аньези) расположена выше оси , т. к. для всех х. Кривая симметрична относительно оси : х входит в уравнение в четной степени. Наибольшее значение у будет иметь при ; при .

– парабола с вершиной в точке (0, 0) и осью симметрии – осью . Найдем точки пересечения этих кривых, для чего решим систему уравнений:

.

Сделаем замену переменной , получим уравнение:

,

Делаем чертеж фигуры (рис.1):

Фигура симметрична относительно , поэтому можно найти площадь S1, а затем ее удвоить. Площадь AOB найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций OABC и OBC. Площадь криволинейной трапеции, заключенной между осью , кривой и прямыми x = a и y = b находится по формуле:

.

В нашем случае

. #

Пример 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Ñ Строим кривую . Заметим, что j может меняться от –p до p. Так как – функция четная (), то кривая будет симметрична относительно полярной оси. Составим таблицу значений r в зависимости от j, где 0 £ j £ p: