Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 7 )

Þ Þ

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому

Þ

Правая часть , равная , представляет собой многочлен нулевой степени , умноженный на eax, где a = –1.

В соответствии с таблицей 2 будем искать yчн в виде многочлена нулевой степени, только с неопределенным коэффициентом, т. е. А, умноженного на и на , где , т. к. является корнем характеристического уравнения кратности 1 (случай 2б):

.

Т. к. yчн – решение данного уравнения, то после подстановки ее в исходное уравнение вместо y, получим тождество. Найдем предварительно:

Подставим , в исходное уравнение:

Þ

Тогда . #

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Ñ Имеем ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью третьего вида. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Þ

Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому

Запишем правую часть sin x в виде: 0× cos x + 1× sin x, здесь b = 1.

При sin x и cos x стоят многочлены нулевой степени , следовательно,

,

где А и В – многочлены тоже нулевой степени только с неопределенными коэффициентами, а , т. к. числа не являются корнями характеристического уравнения (случай 3а). Итак,

Подставим , в данное уравнение:

Получим тождество. Приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим систему уравнений:

Тогда, т. к. у он = у оо + у чн , то

. #

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения .

2. Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения .

3. Определить тип уравнения и решить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Определить тип уравнения и найти решение задачи Коши:

а) , ; б) , ;

в) , .

5. Указать вид подстановки, понижающей порядок и решить уравнение:

а) ; б) , , .

6. Решить уравнение:

а) ; б) , , ;

в) ; г) ; д) .

7. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

ОТВЕТЫ

1. Да; 2. Да;

3. а); б) ; в) ; г); 4. а) ; б) ; в) ;

5. а) ; б) ;

6. а) ; б); в) ;

г) ; д) ;

7. а) ; б) ; в); г) .

§6 РЯДЫ

Для работы над учебным материалом рекомендуется ответить письменно на теоретические вопросы и внимательно ознакомиться с предложенными образцами решений типовых задач. Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы № 6 представлено в таблице 1.

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ КОНСПЕКТИРОВАНИЯ

1. Числовые ряды

1.  Числовые ряды. Основные понятия: частная сумма ряда, сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряд. Привести примеры.

2.  Остаток ряда. Сходимость ряда и остатка. Сходимость и расходимость рядов и .

3.  Необходимый признак сходимости рядов. Достаточное условие расходимости ряда.

4.  Гармонический ряд, обобщенный гармонический ряд, геометрическая прогрессия. Их сходимость или расходимость.

5.  Знакоположительные (знакопостоянные) ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения в непредельной и предельной формах, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

6.  Знакочередующиеся ряды. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (признак Лейбница). Оценка ошибки, допускаемой при замене суммы знакочередующегося ряда суммой его первых n членов.

7.  Знакопроизвольные (знакопеременные) ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов (признак абсолютной сходимости).