Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 1 )

§3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для работы над учебным материалом рекомендуется ответить письменно на теоретические вопросы и внимательно с предложенными образцами решений типовых задач (соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы №3 представлено в таблице 2).

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ КОНСПЕКТИРОВАНИЯ

1. Неопределенный интеграл.

1.  Основная задача интегрирования. Понятие первообразной функции.

2.  Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

3.  Таблица основных неопределенных интегралов.

4.  Основные методы интегрирования: а) непосредственное (табличное) интегрирование; б) внесение под знак дифференциала; в) интегрирование по частям; г) интегрирование заменой переменной.

5.  Понятие о рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей 1, 2, 3 типа.

6.  Интегрирование тригонометрических функций:

а) ;

б)

в)

г)

д) ;

е) , , .

7.  Интегрирование иррациональных функций:

а) , ;

б) , ,

8.  «Неберущиеся» интегралы.

2. Определенный интеграл.

9.  Геометрический смысл определенного интеграла.

10.  Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

11.  Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

12.  Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле.

3. Несобственные интегралы

13.  Несобственные интегралы I и II рода. Определение, понятие сходимости и расходимости.

14.  Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения, если кривая задана: явно, параметрически, в полярных координатах.

Таблицу основных неопределенных интегралов следует выучить наизусть. Отыскание неопределенного интеграла с помощью приведенной таблицы и тождественных преобразований подынтегрального выражения называется непосредственным интегрированием. Следует иметь в виду, что в таблице u – функция от x, т. е. u = u (x), тогда .

Таблица 1

Основные неопределенные интегралы

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.

Таблица 2

Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы

Тема	Теоретические вопросы	Образец решения задач	Задачи контрольной работы
Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования	№№ 1 – 3, 4(а;б)	№№ 1 – 3	№№ 000 – 290 (а)
Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования	№№ 1 – 3, 4(в)	№№ 4,5	№№ 000 – 290 (б)
Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования	№№ 1 – 3, 5	№№ 6 – 8	№№ 000 – 290 (в)
Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования	№№ 1 – 3, 6	№№ 9,10	№№ 000 – 290 (г)
Несобственные интегралы I и II рода	№№ 10, 11, 13	№№ 11 – 16	№№ 000 – 310
Геометрические приложения определенного интеграла	№№ 9 – 12, 14	№№ 17 – 23	№№ 000 – 320

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Найти интеграл .

Ñ Удобно представить . Тогда

.

Здесь . По формуле 1 таблицы 1 имеем:

. #

Пример 2. Найти интеграл .

Ñ . Здесь , , использовалась формула 5. #

Пример 3. Найти интеграл .

Ñ . Здесь , использовалась формула 2. #

Пример 4. Найти интеграл .

Ñ Чтобы найти этот интеграл, применим формулу интегрирования по частям:

(1)

Обозначим: . Удобно использовать следующую запись:

Тогда . Еще раз применим формулу (1):

Следовательно, имеем:

. #

Пример 5. Найти интеграл .

Ñ Для нахождения интеграла применим формулу (1):

. #

Пример 6. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Чтобы найти этот интеграл, подынтегральную дробь нужно представить в виде суммы элементарных дробей. Это представление зависит от разложения знаменателя на множители. Корни знаменателя действительные простые, а именно x1 = –1, x2 = –2, x3 = –3. Тогда

.

Отсюда . Полагая последовательно x = – 1, x = – 2, x = – 3, получим:

. #

Пример 7. Найти интеграл .

Ñ Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Корни знаменателя: x1 = 0 – простой действительный, x2 = –1 – действительный кратности 2. Следовательно, разложение этой дроби на элементарные выглядит так:

(2)