Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 6 )

Þ

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Имеем ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид:

Þ

Корни характеристического уравнения – действительные равные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

. #

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Данное уравнение является ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

Þ .

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение ЛОДУ имеет вид: , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

7. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью имеет вид:

,

где p, q – некоторые действительные числа, – правая часть ЛНДУ. Общее решение этого уравнения (уон) состоит из общего решения соответствующего ЛОДУ (уоо) и частного решения ЛНДУ (учн):

уон = уоо + учн (8)

О нахождении уоо смотрите п. 6. Найти вид частного решения неоднородного уравнения учн помогает таблица 2.

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

, (*)

удовлетворяющее начальным условиям:

(**).

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами, правая часть которого является многочленом второй степени (специального вида, а именно первого). Найдем сначала уоо – общее решение соответствующего ему ЛОДУ:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Þ , следовательно,

Т. к. k = 0 не является корнем характеристического уравнения, то будем искать учн в виде многочлена второй степени с неопределенными коэффициентами (случай 1а):

.

Поскольку учн – решение данного уравнения, то при подстановке учн в это уравнение вместо у получим тождество. Предварительно найдем и :

;

Подставим , , в уравнение (*):

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В, С:

Решив ее, получим: A=1, B=0, C=0. Таким образом, .

На основании формулы (8) имеем:

. (9)

Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (**), найдем :

Подставим 0 вместо х, 1 вместо , а 3 вместо в , . Получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

Þ С2=0.

Подставив найденные С1 и С2 в (9), получим: . #

Таблица 2

Определение вида частного решения по виду правой части дифференциального уравнения

(ЛНДУ с правой частью специального вида)

	Вид правой части ДУ	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения учн
1	Многочлен степени n , т. е.	а) 0 не является корнем характеристического уравнения
б) 0 является корнем характеристического уравнения кратности
2		а) не является корнем характеристического уравнения
б) является корнем характеристического уравнения кратности
3		а) не являются корнями характерист. уравнения	где
б) являются корнями характерист. уравнения кратности	, где
4		а) не являются корнями характерист. уравнения	, где
б) являются корнями характерист. уравнения кратности	где

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью второго вида, следовательно,

уон = уоо + учн

Найдем уоо, для чего решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.